排列通常指的是其他东西，因此最好将您的问题称为“随机二进制词”或类似的东西。

获得每种类型的至少一个代表需要多长时间的问题称为优惠券收集器问题。如果你假设所有长度的二进制字$N$等可能，那么有$2^N$优惠券的种类。您可以将收集所有优惠券的时间写为收集时间的总和$i$新的优惠券，独立几何随机变量的总和。因此，收集它们所需的预期优惠券数量是$2^N \sum_{i=1}^{2^N} 1/i \sim 2^N \log 2^N$，或更准确地说$2^N \log 2^N + 2^N \gamma + 1/2 + o(1)$. 为了$N=10$这是关于$7689$. 方差为$2^{2N} \sum_{i=1}^{2^N} 1/i^2 \approx 2^{2N} \frac {\pi^2}{6}$，所以标准差约为$2^N \frac{\pi}{\sqrt{6}}$. 为了$N=10$这是关于$1313$. 请注意，这里不适合使用正态近似值。

一个粗略的界限是切比雪夫不等式，它表示随机变量大于$k$偏离均值的标准差最多$1/k^2$, 和类似的 Cantelli 不等式是随机变量的概率至少为$k$高于平均值的标准差最多为$1/(k^2+1)$. 这为您提供了大约的上限$7689 + 1313 \approx 9002$对于中位数，和$7689 + 1313\sqrt{19} \sim 13412$为了$95$th 百分位数。

如果这些界限不够好，则已知有更精确但更复杂的渐近线。另一种方法，可能适用于$N = 25$，是使用表示作为独立几何分布的总和来以数值方式计算精确分布。