它被称为具有 pdf的幂半圆分布：$f(x)$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{\Gamma (\theta +2) }{ \Gamma \left(\theta +\frac{3}{2}\right)} \sqrt{1-x^2}^{2 \theta +1} \quad \quad \text{for } -1 < x < 1$$

...其中形状参数，并且您的参数。$\theta > -\frac{3}{2}$$n = 2 \theta + 1$

它嵌套了许多已知的分布，包括：

• ArcSine(-1,1)如果$\quad$$\theta = -1$
• 均匀(-1,1)如果$\quad$$\theta = -\frac12$
• Semicircle(-1,1) if$\quad$$\theta = 0$
• Epanechnikov 内核如果$\quad$$\theta = \frac12$
• 双权核如果$\quad$$\theta = \frac32$
• 三权重核如果$\quad$$\theta = \frac52$

一个参考是：

Kingman, JFC (1963), 球对称随机游走,数学学报, 109(1), 11-53。

此分布是一个缩放和移动的 beta 分布。这可以通过重写或使得 $t=0.5+0.5x$$x = 2t-1$$1-x^2 = 4 t(1-t)$