费希尔信息增加

Fisher 信息（不是估计量的属性）随样本大小而变化。例如，请参见此处：https ://en.m.wikipedia.org/wiki/Fisher_information#Discrepancy_in_definition

，如果数据是独立同分布的，那么两个版本之间的差异只是一个因素$n$，样本中的数据点数。

大小样本的Fisher信息$n$（带 iid 测量）是单个测量次数的 Fisher 信息$n$.

有效的估计精度提高

你写

任何随机变量...并且包含有关该总体参数的Fisher信息

因此，如果您谈论有效的估计（精度等于 Fisher 信息的估计），那么：是的，精度将随着样本量的增加而增加。

类似地，任何其效率对所有人都有一些非零最小界限的估计器$n$

其他估计可以做任何事情

但请注意，有许多非有效的估计量/统计量不会随着样本量的增加而扩展。

• 病理估计器

  一个众所周知的例子是柯西分布的样本均值作为位置参数的估计量，随着样本量的增加，它保持不变（我相信还有一些例子，样本均值的方差甚至会随着样本量的增加而增加）。

• 甲骨文估算器

  如果你不喜欢柯西分布的例子，因为它是一个病态分布，那么你可以考虑这个估计量

  $$\hat \theta_n = 42$$

  这是一个可用于非病态分布的参数 θ 的估计量，并且当我们增加 n 时不会改善（精度增加）。（我同意这是一个几乎没有实际意义的例子，但它表明您可能需要更精确地定义“估计器”）。

• 愚蠢的估算师

  你可以争辩说这个预言机估计器$\hat{\theta}_n = 42$不包含信息（并且在您的编辑中您写了包含信息的估算器），在这种情况下，您可以使用这个愚蠢的估算器

  $$\hat{\theta}_n = \min\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n \rbrace (n+1)$$ 和之间连续均匀分布的参数。$0$$\theta$

  的分布遵循 beta 分布，因此我们可以根据均值和方差轻松计算估计的均值和方差的 beta 分布。$\min\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n \rbrace/\theta$ $Beta(1,n)$

  $$\begin{array}{rcl} E[\hat{\theta}_n] &=& \theta \\ Var[\hat{\theta}_n] &=& \theta^2 \frac{n}{(n+2)} \end{array}$$

  因此，随着样本量的增加，这个无偏估计量的方差将向\增长。$\theta^2$

显然，这些例子都是愚蠢的非实用估计。但是，那是因为您正在寻找的问题。您正在寻找在增加样本量时效果不佳的估计器，因此您会得到愚蠢的估计器作为示例。

另见：https ://en.wikipedia.org/wiki/Consistent_estimator

一个不随样本量增加而增加 Fisher 信息的统计量的示例是匹配统计量。匹配统计量 (Vernon, 1936) 在一对排名分数向量之间计算，作为匹配的配对排名数。Gordon Rae (1987, 1991) 表明，当向量之间的总体相关性为零时，的相对渐近效率为零。这意味着，如果我们在相同的数据上同时计算和 Spearman 的 rho（或另一个相对有效的相关估计量），则将是相当大的，但会在$m$$m$$m$$m$$n$$n$走向无穷大。还可以证明，当向量之间的总体相关性大于零时，的相对渐近效率为负。这意味着的标准误差随着的增加而增加，这意味着 Fisher 信息的丢失。$m$$m$$n$