原始残差不一定是正态分布的。以下是一些模拟数据，遵循 Ferrari & Cribari-Neto (2004) 对 beta 分布的重新参数化：

> set.seed(1839)
> library(betareg)
> inv_logit <- function(logit) exp(logit) / (1 + exp(logit))
> n <- 500
> x <- rnorm(n)
> mu <- inv_logit(-5 + .5 * x)
> phi <- exp(2 + .3 * x)
> p <- mu * phi
> q <- phi - (mu * phi)
> y <- rbeta(n, p, q)
> model <- betareg(y ~ x | x)
> summary(model)

Call:
betareg(formula = y ~ x | x)

Standardized weighted residuals 2:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.8350 -0.4382  0.2585  0.6837  1.1680 

Coefficients (mean model with logit link):
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  -5.1468     0.2054 -25.054  < 2e-16 ***
x             0.7231     0.1713   4.221 2.43e-05 ***

Phi coefficients (precision model with log link):
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)   2.1800     0.2091  10.427   <2e-16 ***
x             0.1336     0.1761   0.759    0.448    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

Type of estimator: ML (maximum likelihood)
Log-likelihood: 1.365e+04 on 4 Df
Pseudo R-squared: 0.2678
Number of iterations: 38 (BFGS) + 2 (Fisher scoring) 

请注意，该模型很好地恢复了参数（1、.5、2 和 .3）。但是让我们看一下原始残差（即观察到的 - 拟合）：

> qqnorm(model$residuals)
> qqline(model$residuals)

即使我准确地模拟了模型如何工作的数据，残差仍然是非正态的。为什么？

我认为对广义线性模型作为一个整体的最佳介绍——至少对我而言——是 Coxe、West 和 Aiken 的“广义线性模型”，来自The Oxford Handbook of Quantitative Methods (Vol. II) 的第 3 章，由 Todd 编辑很少，于 2013 年出版。

他们清楚地表明，每个广义线性回归模型都是不同的——部分原因在于它对残差的建模方式。他们指出，每个广义线性回归，包括 beta 回归，都遵循三个部分。其中之一是“随机部分”，它“定义了结果变量的误差分布”。在第 31 页的表 3.1 中，他们表明，对于 beta 回归，误差分布是beta 分布。也就是说，结果$Y$, 以参数为条件$p$和$q$（在 Ferrari 和 Cribari-Neto 的重新参数化中定义）是 beta 分发的。所以我们不应该期望 beta 回归的原始残差是正态分布的。它们应该是 beta 分发的。

话虽如此，在我看来，通过阅读、在此站点上提问以及与一些进行 beta 回归研究的人发送电子邮件，beta 回归的诊断是一个积极研究的领域。目前还没有普遍接受的答案——至少从我对文献的阅读来看是这样。

在许多论文中，人们为 beta 回归推导了不同类型的残差，这些残差是正态分布的，因此更容易进行诊断检查。还有一些论文着眼于影响统计。我不确定在 Stata 中实现了什么，但这里有一些我建议阅读并进行前向和后向搜索的论文：

佩雷拉 (2017)。关于 beta 回归中的分位数残差。通信统计-模拟和计算。doi：doi.org/10.1080/03610918.2017.1381740。有关预印本，请参阅https://arxiv.org/abs/1704.02917 。

Espinheira、Santos 和 Cribari-Neto（2017 年）。关于非线性β回归残差。生物识别杂志，59。doi: 10.1002/bimj.201600136

Espinheira，法拉利，Cribari-Neto (2008)。关于 beta 回归残差。应用统计杂志，35。doi: 10.1080/02664760701834931

Espnheira、法拉利和 Cribari-Neto (2008)。在 beta 回归中影响诊断。计算统计和数据分析，52。doi: 10.1016/j.csda.2008.02.028

我自己——作为一个使用 beta 回归的人，读过一些关于它的文章，但不是这方面的专家——我并不完全相信有任何一种（并在软件中实现）方法可以对 beta 回归进行健壮的诊断检查。如果我错了，这里有一些关于 CV 的 beta 回归专家可能会纠正我。

在此处进行编辑以便快速跟进。该包betareg建议使用“ sweighted2”残差，如 JSS 文章中所述betareg，在我上面创建的模型中，这仍然是不正常的（虽然更好！）：

> qqnorm(residuals(model, type = "sweighted2"))
> qqline(residuals(model, type = "sweighted2"))