您需要设置所选下拉选项的状态。并将数据的第一个值设置为选定值。

componentDidMount() {
 const url = 'https://randomuser.me/api/?results=4';

 fetch(url)
   .then(Response => Response.json())
   .then(findResponse => {
     console.log(findResponse);
     this.setState({
       data: findResponse.results,
       selected: findResponse.results[0].name.first // need to be sure it's exist
     });
   });
}
handleChange(event, index, value) {this.setState({ selected: value });}
.
.
.
render() {
 return (
   <div>
     <DropDownMenu value={this.state.selected} onChange={this.handleChange}>
       {this.renderOptions()}
     </DropDownMenu>
   </div>
 );

}

更新代码

import React, { Component } from 'react';
import DropDownMenu from 'material-ui/DropDownMenu';
import MenuItem from 'material-ui/MenuItem';

export default class WebserviceTest extends Component {
  constructor() {
    super();
    this.state = {
      data: [],
      selected: '',
    };
    this.renderOptions = this.renderOptions.bind(this);
    this.handleChange = this.handleChange.bind(this);
  }

  componentDidMount() {
    const url = 'https://randomuser.me/api/?results=4';

    fetch(url)
      .then(Response => Response.json())
      .then(findResponse => {
        console.log(findResponse);
        console.log(findResponse.results[0].name.first);
        this.setState({
          data: findResponse.results,
          selected: findResponse.results[0].name.first // need to be sure it's exist
        });
      });
  }
  handleChange(value) {this.setState({ selected: value });}

  //we are creating the options to be displayed
  renderOptions() {
    return this.state.data.map((dt, i) => {
      return (
        <div key={i}>
          <MenuItem
            value={dt.name.first}
            primaryText={dt.name.first} />
        </div>
      );
    });
  }

  render() {
    return (
      <div>
        <DropDownMenu value={this.state.selected} onChange={this.handleChange}>
          {this.renderOptions()}
        </DropDownMenu>
      </div>
    );
  }
}

this.setStatethis.state以特殊方式控制变量。每当您使用this.setState它时，它都会render再次运行以检查相应的更改。您想要响应的动态内容应该放在其中，this.state并且应该显示在您的render函数中。

有很多方法可以解决您的问题，但最重要的原则是放置您当前想要呈现的内容（或 ID/索引号），this.state并this.setState根据需要使用它进行更改。

value={this.state.name}应该是您从 返回的数据结构中的单个值fetch，假设这是屏幕上显示的内容。

另外，您忘记了bind this.handleChange在构造函数中。

props在你的构造函数中声明完全没问题。只有当您想this.props在构造函数中使用某些内容时才这样做。你是不是，所以它是绝对安全的离开，因为constructor()和super()