说起 '$99\%$超立方体中的点' 有点误导，因为超立方体包含无限多的点。让我们来谈谈音量。

超立方体的体积是其边长的乘积。对于 50 维的单位超立方体，我们得到

$$\text{Total volume} = \underbrace{1 \times 1 \times \dots \times 1}_{50 \text{ times}} = 1^{50} = 1.$$

现在让我们排除超立方体的边界，看看“内部”（我把它放在引号中，因为数学术语内部有非常不同的含义）。我们只保留积分$x = (x_1, x_2, \dots, x_{50})$满足

$$0.05 < x_1 < 0.95 \,\text{ and }\, 0.05 < x_2 < 0.95 \,\text{ and }\, \dots \,\text{ and }\, 0.05 < x_{50} < 0.95.$$ 这个“内部”的体积是多少？那么，“内部”又是一个超立方体，每边的长度是$0.9$($=0.95 - 0.05$......它有助于在二维和三个维度上想象这一点）。所以音量是 $$\text{Interior volume} = \underbrace{0.9 \times 0.9 \times \dots \times 0.9}_{50 \text{ times}} = 0.9^{50} \approx 0.005.$$ 得出结论“边界”的体积（定义为没有“内部”的单位超立方体）是$1 - 0.9^{50} \approx 0.995.$

这表明$99.5\%$一个 50 维超立方体的体积集中在它的“边界”上。

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跟进： ignatius提出了一个有趣的问题，即这与概率有何关系。这是一个例子。

假设您提出了一个（机器学习）模型，该模型根据 50 个输入参数预测房价。所有 50 个输入参数独立且均匀分布在$0$和$1$.

让我们说，如果没有一个输入参数是极端的，那么您的模型效果很好：只要每个输入参数都保持在$0.05$和$0.95$，您的模型几乎完美地预测了房价。但是如果一个或多个输入参数是极端的（小于$0.05$或大于$0.95$)，你的模型的预测是绝对可怕的。

任何给定的输入参数都是极端的，概率仅为$10\%$. 很明显，这是一个很好的模型，对吧？不！至少有一个的概率$50$参数是极端的$1 - 0.9^{50} \approx 0.995.$ 所以在$99.5\%$在这些情况下，您的模型的预测很糟糕。

经验法则： 在高维中，极端观察是规则而不是例外。

即使在较低的维度上，您也可以清楚地看到图案。

第一个维度。取一条长度为10的线，边界为1。边界的长度为2，内部为8，比例为1：4。

第二维。取一个边为 10 的正方形，再次取边界 1。边界的面积为36，内部为64，比例为9：16。

第三维度。相同的长度和边界。边界的体积是 488，内部是 512，61:64 - 边界已经占据了几乎和内部一样多的空间。

第 4 维，现在边界是 5904，内部是 4096——边界现在更大了。

即使对于越来越小的边界长度，随着尺寸的增加，边界体积总是会超过内部。

“理解”它的最佳方法（尽管恕我直言，这对人类来说是不可能的）是比较 n 维球和 n 维立方体的体积。随着 n（维数）的增长，球的所有体积“泄漏”并集中在立方体的角落。这是在编码理论及其应用中要记住的有用的一般原则。

最好的教科书解释是在 Richard W. Hamming 的著作“编码和信息理论”（3.6 Geometric Approach, p 44）中。

如果您记住 n 维单位立方体的体积始终为 1^n，那么Wikipedia 中的简短文章将为您提供相同的简短摘要。

我希望它会有所帮助。