如果您可能想尝试另一种方法来查找置信区间，除了 Peter 给出的很好且严谨的回答之外，我还会考虑使用像bootstrapping这样的重采样方法作为查找置信区间的可靠方法。一个关键优势是它不假设任何类型的分布，是一种无需分布的方法来查找您的系数估计值。

在寻找线性回归的置信区间的情况下，步骤将是：

1. 从数据集中抽取 n 个随机样本（带替换），其中 n 是引导样本大小
2. 对步骤 1 中的bootstrap样本进行线性回归
3. 重复第 1 步和第 2步 n_iters 次，其中 n_iters 将是引导样本的数量和对其进行的线性回归
4. 现在我们有了线性回归系数的 n_iters 值，我们可以通过最小、中值和最大百分位数找到区间限制（例如，对于 95% CI：百分位数 2.5、50 和 97.5）以找到系数估计值和 CI限制

请注意沿 x 轴值的置信区间的可变性，考虑到系数估计的抽样误差（良好的阅读来源：https ://greenteapress.com/wp/think-stats-2e/ ）

我的示例的相关代码包括情节可以在这里找到

OLS 型号：

OLS（又名线性回归）背后的假设之一是同方差，即：

$$Var(u| x ) = \sigma^2.$$

回想一下线性模型的定义：

$$y = X \beta + u,$$

在哪里 $u$是统计误差项。误差项（根据 OLS 假设）需要有一个期望值$E(u|x)=0$ （正交条件）有方差 $\sigma^2$, 使得误差分布 $u \sim (0,\sigma^2)$.

异方差性：

如果方差为 $u$不是“谐波”并且违反了上述假设，我们说误差项是异方差的。异方差不会（！）改变估计的系数，但它确实会影响（估计的）标准误差，从而影响置信带。

误差方差由下式估计：

$$\hat{\sigma}^2 = 1/(n-2) \sum{\hat{u}^2} .$$

标准误（系数 $\beta$)估计如下：

$$se(\hat{\beta}) = \hat{\sigma} / (\sum{(x_i-\bar{x})^2})^{1/2}.$$

为了获得误差方差和（“正常”，与“稳健”相反，见下文）标准误差的正确估计，需要假设同方差。反过来，标准误差用于计算置信带。因此，如果您不能相信估计的标准误差，您也不能依赖置信区间。

这里的问题最终是，给定异方差性，您无法判断某个估计系数是否具有统计显着性。此处定义了显着性（95% 置信度），因此某些估计系数的置信带不会“跨越”零（因此严格来说是正数或负数）。

处理异方差性有不同的选择：

• 最常见的解决方案是使用“稳健”的标准错误。有不同版本的“稳健”错误（HC1、HC2、HC3）。它们都有一个共同点，即它们旨在获得对误差方差的“稳健”估计。大多数软件都允许您计算稳健的 SE。在此处查找 R 的示例。
• 另一种选择是估计一个“可行的广义模型”（FGLS），您首先估计方差函数（以了解误差的分布），然后尝试“纠正”误差分布中的问题。但是，这不是您在实践中经常使用的东西。它更像是一种学术练习。

检验异方差性：

通常，您会测试是否存在异方差性。您可以查看“残差与拟合图”以了解误差项的分布方式。

但是，可以使用White 或 Breusch-Pagan 测试进行适当的测试。这是 R 中的一个示例。