数据挖掘 - 估计值 ππ 使用蒙特卡洛飞镖： << 或者 ≤≤? - 吾爱随笔录

估计值 ππ 使用蒙特卡洛飞镖： << 或者 ≤≤?

数据挖掘数学模拟蒙特卡洛

2021-10-05 02:17:33

我试图弄清楚哪种是正确的估计方法 $\pi$ 使用蒙特卡洛方法在一个正方形中随机分布点，该正方形还包含一个内切圆。

一些消息来源说使用比较 $\sqrt{x^2+y^2}\le 1$ , 而其他人使用 $\sqrt{x^2+y^2}<1$ .

def monte_carlo_pi(nsamples):
    acc = 0
    for i in range(nsamples):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if (x**2 + y**2) < 1.0:
            acc += 1
    return 4.0 * acc / nsamples

而不是发布一长串使用 $\le 1$ 或者 $< 1$ ，我已经制作了列表并将其存储在以下网站上：有关使用and的示例，请参见：socrates.io或markdown.press或markdownshare。less thanless than or equal to

1个回答

简短回答：两种表述都得出相同的答案。

数学解释：

为了理解这一点，让我们看两个类似的问题。想象一下我们要集成一个功能 $f(x)=x^2$ 在两个间隔 $I_1=[0,1]$ （包括两个边界）和 $I_2=(0,1)$ （不包括两个边界）。

为了 $I_1$ 我们有

\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3.

$\int_0^1 x^2~dx=1/3.$

对于第二个区间，我们需要引入一个正的虚拟参数 $\varepsilon$ 然后我们可以计算积分为

lim_{ε \to 0} \int_{0 + ε}^{1 - ε} x^{2} d x = 1 / 3.

$\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{0+\varepsilon}^{1-\varepsilon}x^2~dx=1/3.$

因此，两个区间之间的分隔线对积分（面积）没有贡献，因为它的宽度非常小。相同的论点可以应用于圆形区域。但是包括圆的线会使计算更容易，因为我们不需要引入虚拟变量。

数值解释：

由于计算机的数值精度，生成的随机数不太可能导致真正在圆线上的点。在数值上，将不可能获得至少一个坐标是无理数的任何值。仅当两个值都是合理的并且如果 $x^2+y^2=1$ 他们可以躺在圆圈上。但这种情况也极不可能。

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