欧拉数自然出现在很多地方；与增长率没有太大关系，但很容易在共同的范围内出现。

没有选择 sigmoid 函数的形式，因为它的导数有一个很好的性质，尽管这是真的。它也没有被选中，因为它是一个范围为 (0,1) 的函数；许多功能都这样做。

sigmoid 函数的出现是因为它是常见问题类型的正确答案。我们将逻辑回归视为预测类概率的通用分类器，但实际上它是底层的回归。它不是回归概率，而是概率的对数几率（logit 函数）。这是应用回归的正确方法，给定关于分类问题中错误分布的假设，这与简单的线性回归不同。

sigmoid 函数是 logit 链接函数的逆函数。这就是它在那里的原因。它从回归输出到实际期望的输出，一个概率。logit 函数之所以存在，是因为它被关于 0/1 因变量分布的假设所暗示。

实际上就是这样。它必须存在于某些类型的常见问题中，因为它是这些问题的答案，而不是因为它被选择用于良好的属性。

因为您需要最小化包含输出的错误，即您对错误进行导数并将其设置为零（基本上）。如果输出来自 sigmoid，那么你有一个非常好的属性：sigmoid 的导数可以用它自己写！

如果你使用一个常数 $a$，然后是一个术语 $ln(a)$ 会破坏美丽的财产！

PS：常数只是缩放函数的形状，即如果你增加它，你会更早地达到接近 0 或 1 的值。见下图：

如果我正确理解您的问题，这就是为什么我们要尝试适应 $\frac{1}{1+e^{-a(x-b)}}$ 我们的数据，而不是 $\frac{1}{1+\kappa^{-a(x-b)}}$? （为了简单起见，我在这里使用了单变量案例）

考虑一下，对于任何（积极的） $\kappa$，我们可以写成 $\kappa = e^{c}$， 因此 $\frac{1}{1+\kappa ^{-a(x-b)}}=\frac{1}{1+(e^{c})^{a(x-b)}}=\frac{1}{1+e^{ac(x-b)}}$

因此，从解决方案的角度来看，无论您是使用自然指数还是其他任何方法，使您的可能性最大化的家庭函数中的曲线都是相同的，并且您的参数（在上面的示例中，a）将只需取不同的值，具体取决于您使用的指数。

这对于任何积极的 $\kappa$，对于负数 $\kappa$，你失去了输出概率必须在 0 和 1 之间的基本属性。

所以总而言之，您不必使用自然指数，您可以使用任何正数，但使用自然指数可以使梯度计算变得简单，并且很可能您可能想要进行任何其他后续计算。您可以使用其他指数来做到这一点，但是您必须跟踪尾随对数。

它们是等价的。例如，$0.5^{x\cdot\beta}=e^{(\ln0.5)\cdot x \cdot \beta}=e^{x \cdot \beta’}$

使用$e$使导数更加优雅。