平面和非平面几何是机器学习和统计中的合法术语吗？

这些是数学中的术语，它们在任何领域都有效。

数学定义是什么？

（非）平面歧管

在数学中，如果曲率处处为零，则称（黎曼）流形是平坦的；否则不平。这与几何中平面物体的定义有很大不同。根据该定义，只有点、线和超平面是平坦的（例如超球面或线段）。

例如，设置$\left\{(t,t):t\in(-1,1)\right\}$是一维平面流形${\Bbb R}^2$， 放$\left\{(t,t^2):t\in(-1,1)\right\}$是一维非平面（正弯曲）流形${\Bbb R}^2$, 超球面是$n$D 非平面（正弯曲）歧管${\Bbb R}^{n+1}$.

因此，具有（非）扁平形状的簇对应于（非）扁平歧管。

以下是文档中的一些示例。

点集中在（A）两个非凸的一维非平面流形（圆），（B）两个非凸的一维非平面流形（弧），（C）三个一维平面流形（段）它们是凸的，（D）三个凸的 0D 平面流形（中心作为点）。

（非）平面几何与平面

该文件中的“平面几何”是指“欧几里得几何”而不是“几何中定义的平面对象”。如果我们通过欧几里得距离来测量距离（因此是长度、面积、体积等），我们就遵循欧几里得几何，否则，我们就遵循非欧几何。例如，如果我们通过遵循非平面流形（测地线）来测量两点之间的距离，则我们遵循的是非欧几里得几何。作为例证，

在 (A) 中，红线测量服从平面几何的距离，蓝线测量服从非平面几何的距离（通过沿非平面流形移动）。如果流形到较低维度的适当映射是可能的（B），则服从平面几何将等同于在映射之前服从非平面几何。