是的，决策树可以学习 XOR。

我在网上读到决策树可以解决 xOR 类型的问题......

很多时候，事情的措辞不够仔细。神经网络可以完美地对整数列表进行排序，但是要训练一个来做到这一点非常困难。您的图像显示一棵树可以很容易地表示 XOR 函数，但您的问题是如何学习这样的树结构。

我的问题是决策树如何学会在这种情况下解决这个问题。我只是看不到任何指标（信息增益，基尼分数，...）选择图像 2 中的一个拆分而不是任何其他随机拆分的方法。

事实上，第一次分裂可能是非常随机的，或者由于噪音（如果你去$\operatorname{sign}(x\cdot y)$连续$x,y$而不是离散的$x,y$和异或）。但是，只要你的算法在第一次分裂中进行一次暴跌，接下来的分裂是显而易见的，你的树就会成功。

是否有可能用决策树解决提出的问题？

这是一个笔记本（github/colab，欢迎提出建议）证明是的，（sklearn）决策树可以学习$\operatorname{sign}(x\cdot y)$（当点非常接近 0 时可能会出现一些错误）；但它也继续显示出一些困难，例如，当变量不是$x,y$可用于树进行拆分。Up-shot：噪声变量可能会破坏我上面提到的第一次分裂，甚至有用的变量也会使树失去对 XOR 的跟踪。

使用随机森林会以任何方式解决问题吗？

可能不是基本问题，但它看起来有助于解决上面的噪声变量等问题。

是的，可以使用决策树实现 XOR。

异或门：

if x == y
  class = 0
else
  class = 1

因此，一个简单的离散决策树可以是：

N1: is x == 1 ? (yes -> N2, no -> N3)
N2: is y == 1 ? (yes -> class=0, no -> class=1)
N3: is y == 1 ? (yes -> class=1, no -> class=0)

因此，您可以使用三个决策节点实现 XOR。

这也可以应用于连续值。我将用您提供的示例进行演示。在您的示例中，我们需要制作一个考虑以下内容的决策树：

if (x < 0.5 AND y > 0.4) OR (x > 0.5 AND y < 0.4)
  class = 1
else
  class = 2

与离散示例一样，这可以使用三个决策节点来解决：

N1: is x > 0.5 ? (yes -> N2, no -> N3)
N2: is y > 0.4 ? (yes -> class=2, no -> class=1)
N3: is y > 0.4 ? (yes -> class=1, no -> class=2)

请注意，当一个点恰好落在边界上时，您可以选择 > 或 >= 将分类偏向您的首选类别。

我已在此处粘贴您的示例图片以供参考：