给定一个样本$X_1,X_2 \dots X_{100}$和密度函数 $f(x;\theta) = \frac{1}{\pi \cdot \left(1+\left(x-\theta \right)^2\right)}$, 找到一个近似解 $\hat{\theta}_{MLE.}$

我的尝试：

我找到了联合可能性$L(\theta;x_1,x_2\dots x_{100}) = \prod _{i=1}^{100}\left(\frac{1}{\pi \cdot \left(1+\left(x_i-\theta \right)^2\right)}\right)\:$

$l$=$\log(L) = -100*\ln(\pi)-\sum^{100}_{i=1}(\ln(1+(x-\theta)^2)$.

我不确定这一步

$\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\log(L)\right) = \sum_{i=1}^{100}(\frac{2(x_i-\theta)}{1+(x_i-\theta)^2}$

然后我用牛顿的方法找到最大值。

这是我用来计算最大值的脚本

#deravitive of log(L).
fun1 <- function(theta){
  y1 <- 0
  for(i in 1:length(x)){
    y1 <- y1 + (2*(theta-x[i]))/(1+(x[i]-theta)^2)
  }
  return(y1)
}


#derivative of fun1.
fun1.tag <- function(theta){
  y <- 0
  for(i in 1:length(x)){
    y <- 2*(theta^2+(x[i]^2)-20*x[i]-1)/((1+(x[i]-theta)^2)^2)
  }
  return(y)
}


# The Newton's method.


guess <- function(theta_guess){
  theta2 <- theta_guess - fun1(theta_guess)/fun1.tag(theta_guess)
  return(theta2)
}
theta1 <- median(data$x)
epsilon <- 1

theta_before <- 0

while(epsilon >0.0001){
  theta1 <- guess(theta1)
  epsilon <- (theta_before- theta1)^2
  theta_before <- theta1
}

我得到的是$\hat{\theta}_{MLE} = 5.166$

我现在正在尝试绘制数据（在我的情况下为 x）并检查是否$\hat{\theta}_{MLE} = 5.166$实际上是一个最大值。