首先对结果向量进行归一化。例如[.95, .45, .6]除以 2（成员之和）；给予[.475, .225, .3].

让 $x$ 是第一种矿物的份额，比 $(x-1)$ 是第二种矿物的份额。

求解必须给出相同结果的三个线性方程。

$.1 * x + .6 * (1-x) = .475$

$.3 * x + .2 * (1-x) = .225$

$.6 * x + .2 * (1-x) = .3$

结果是 $x = 1/4$ 正如预期的那样。

更新

当然，上述提议的解决方案只有在矿物数量小于或等于元素数量时才有效。在问题的更新中明确指出，情况并非如此（3000 种矿物和 118 种元素）。

让我们在一个带有 3 个 minarals 和 2 个元素的小例子上模拟这个相反的情况。

m1 <- c(0.2, 0.8)  
m2 <- c(0.4, 0.6)  
m3 <- c(0.9, 0.1)

和矿物质的混合物

 x <- c(.25, .65, .1)

产生的测量

 t(matrix(c(m1,m2,m3),3,2, byrow= T))  %*% x

 [,1]
 [1,]  0.4
 [2,]  0.6

这给出了以下线性方程

$m_1 + m_2 + m_3 = 1$

$.2 m_1 + .4 m_2 + .9 m_3 = .4$

$.8 m_1 + .6 m_2 + .1 m_3 = .6$

方程的解不是唯一的

$m_3 \in <0, 1 / 3.5>$

$m_1 = 2 - 2 * m_2 - 4.5 * m_3$

$m_2 = 1 - 3.5 * m_3$

下面提供了一些替代解决方案

  0 1 0
  0.125 0.825 0.050
  0.375 0.475 0.150
  0.5 0.3 0.2
  0.625 0.125 0.250
  0.71428571 0.00000000 0.28571429

这当然是一个过于简单的例子，但表明您应该仔细选择优化目标，因为可能会有更多“同样好的”解决方案。例如，通过促进稀疏性，您会发现与[0 1 0]我们使用的组合相去甚远的解决方案。

如果我理解正确，在你的问题中矿物元素向量 $m1$ 和 $m2$众所周知。_

如果是这种情况，我会建议 LASSO 回归。假设你有$n$ 矿物质 $m_1$, $m_2$, ..., $m_n\in\mathbb{R}^p$ 排列成矩阵 $M=[m_1;m_2,...,m_n]\in\mathbb{R}^{n\times p}$, 和一个未知的混合向量 $x\in\mathbb{R}^n$（在你的情况下，$x=[0.25; 0.75]$）。您的传感器测量$y=M^\top x\in\mathbb{R}^n$你想恢复$x$从$y$.

LASSO 回归旨在解决$\hat{x}=\arg\min_x ||y-M^\top x||_2 + \lambda||x||_1$. 这$\ell_1$惩罚促进了稀疏性$x$当你有很多候选矿物质时，这可能是有益的。

由于数据的组成性质，我认为您不需要任何特殊处理，除了规范化最终结果$\hat{x}$如果需要的话。