真阳性、假阳性等的向量函数都使用了“魔术”数字$0$和$1$用于表示布尔值。它们是您可以在数值库中使用的便捷方法，但您确实需要了解数据的基本布尔性质。这$0$和$1$值允许计算 TP 等的数学，但不是它的基础，它们是一种表示。

除非出现奇怪的错字，否则您对所提供函数的梯度推导似乎是正确的。然而，梯度并不真正适用于$\mathbf{y}$, 因为所有组件$\mathbf{y}$要么是$0$或者$1$. 你可以增加的想法$\mathbf{y}$稍微在哪里 $\mathbf{\hat{y}}$是$1$为了增加TP指标的值，微幅是没有依据的。相反，进行改进的唯一有效更改是修改 FN 值$0$到$1$确切地。

您可能仍然可以使用您的推导作为优化的梯度（这不是机器学习中唯一一次在理论上不太适用的东西，但您仍然可以在实践中使用它）。但是，您随后立即遇到了值如何$\mathbf{y}$已离散为 $0$或者$1$-该函数将不可微分，它会阻止您将梯度反向传播到要更改的神经网络权重。如果您使用更平滑的函数（例如 sigmoid）解决后续问题，那么您最终可能会得到接近交叉熵损失或感知器更新步骤的结果。

换句话说，尽管您被告知过于简化，但您不会找到一种方法来通过直接基于 TP、FP 等添加成本函数来提高分类器的性能。这就是二元交叉熵损失已经在做。还有其他可能更有成效的调查途径——超参数搜索、正则化、集成，如果你有一个不平衡的数据集，那么考虑加权真/假成本。