计算科学 - 是否有找到渐近斜率的数值算法？ - 吾爱随笔录

是否有找到渐近斜率的数值算法？

计算科学算法

2021-12-08 21:02:11

我有一系列数据点我希望（大约）遵循一个函数渐近线到大。本质上，接近于零，对于所有导数，等。但是我不知道的函数形式是什么，如果它甚至有一个可以用基本函数来描述的形式。 $(x_i,y_i)$ $y(x)$ $x$ $f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$ $x \to \infty$ $f'(x)$ $f''(x)$ $f(x)$

的最佳估计值 $a$ 。显而易见的粗略方法是挑选最后几个数据点并进行线性回归，但是如果在我有数据的 $f(x)$ 范围内没有变得“足够平坦”，这当然是不准确的。明显不那么粗暴的方法是假设（或其他一些特定的函数形式）并使用所有数据来适应它，但我尝试过的简单函数如或处的数据不完全匹配，其中 $x$ $f(x) \approx \exp(-x)$ $\exp(-x)$ $\dfrac1{x}$ $x$ $f(x)$ 很大。鉴于我对数据如何接近渐近线的确切了解缺乏了解，是否有一种已知的算法来确定渐近斜率会做得更好，或者可以为斜率提供一个值以及置信区间？

在我处理各种数据集的工作中，这类任务往往会经常出现，所以我最感兴趣的是通用解决方案，但根据要求，我将链接到提示这个问题的特定数据集。正如评论中所描述的，Wynn $\epsilon$ 算法给出的值，据我所知，有点偏离。这是一个情节：

渐近线性数据

（看起来在高 x 值处有一条轻微的下降曲线，但该数据的理论模型预测它应该是渐近线性的。）

1个回答

这是一个相当粗略的算法，但我会使用以下程序进行粗略估计：如果，正如你所说，代表你的的增加已经几乎是线性的，我' d 做的是取差异，然后使用像Shanks 变换这样的外推算法来估计差异的极限。结果有望很好地估计这个渐近斜率。 $f(x)$ $(x_i,y_i)$ $x$ $\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

下面是一个Mathematica演示。Wynn算法是 Shanks 变换的一种方便实现，它作为（隐藏）函数内置。我们在函数上试一下程序 $\epsilon$ SequenceLimit[]

\frac{4}{x^{2} + 3} + 2 x + e^{- 4 x} + 3

$\frac4{x^2+3}+2 x+e^{-4 x}+3$

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

我不妨炫耀一下算法有多简单：

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

此实现改编自Weniger 的论文。

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