您应该使用http://api.jquery.com/jQuery.ajax/ 中的上下文设置

function doop(){
    var old = $(this).siblings('.old').html();
    var newValue = $(this).siblings('.new').val();

    $.ajax({
        url: 'doop.php',
        type: 'POST',
        context: this,
        data: 'before=' + old + '&after=' + newValue,
        success: function(resp) {
            if(resp == 1) {
                $(this).siblings('.old').html(newValue);
            }
        }
    });

    return false;
}

“this”将转移到成功范围并按预期运行。

首先new是一个保留字。您需要重命名该变量。

要回答您的问题，是的，您需要保存this在成功回调之外的变量中，并在您的成功处理程序代码中引用它：

var that = this;
$.ajax({
    // ...
    success: function(resp) {
        if(resp == 1) {
            $(that).siblings('.old').html($new);
        }
    }
})

这称为闭包。

this绑定到应用了执行函数的对象。这可能是一些 AJAX 响应对象，或全局对象 ( window)，或其他东西（取决于$.ajax.

我是否需要在进入 $.ajax 调用之前将 $(this) 捕获到一个变量中，然后将其作为参数传递给 $.ajax 调用？还是我需要将它传递给匿名成功函数？如果这能解决问题，我应该在哪里将它传递给 $.ajax？

this在定义success函数之前，您确实需要一种方法来捕获 的值。创建闭包就是这样做的方法。您需要定义一个单独的变量（例如self）：

function doop() {
    var old = $(this).siblings('.old').html();
    var new = $(this).siblings('.new').val();

    var self = this;

    $.ajax({
        url: 'doop.php',
        type: 'POST',
        data: 'before=' + old + '&after=' + new,
        success: function(resp) {
            if(resp == 1) {
                $(self).siblings('.old').html(new);
            }
        }
    });

    return false;
}

该success函数将保留self调用时的值，并且应按您的预期运行。