请参阅David Stewart关于此主题的新书（2011 年），Dynamics with Inequalities: Impacts and Hard Constraints。库仑摩擦问题在分析章节中多次提及。

第 8 章专门讨论非光滑 ODE 和 DAE 的数值方法。它主要提倡完全隐式的 Runge-Kutta 方法，并对非光滑进行特殊处理。请注意第 8.4.4 节指出，如果您不能准确定位非平滑点，所有方法都会降低到一阶精度，因此隐式欧拉（对非平滑进行修改）在实践。此外，无限维不等式问题的解决方案通常不是分段平滑的，因此该理论仅提供收敛性，但在实践中，通常是观测到的。$\mathcal{O}(h)$$\mathcal{O}(h^{1/2})$$\mathcal{O}(h)$

我所知道的最重要的参考资料是大卫斯图尔特的论文，它已有 20 多年的历史：

右手边不连续常微分方程的高精度数值方法

摘要引用了几部重要的早期作品。这里的一个关键词是差异包含。

正如 Mike Dunlavey 在评论中已经指出的那样，这通常使用所谓的过零函数来完成，即函数从交叉到 (反之亦然）当 RHS 具有不连续性时。$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$$>0$$<0$

例如，如果您有一个带有块的移动质量，则质量与块之间的距离可以用作过零函数。

许多 ODE 求解器（例如 SUNDIALS CVODE）会自动检查是否有任何过零函数在最后一个时间步中改变了符号。如果是这种情况，则使用根查找方法来确定根的确切位置。然后可以在该特定位置重新启动求解器。这可以由求解器本身自动完成，也可以由调用代码手动完成。