我想知道多项式预处理器发生了什么。我对它们很感兴趣，因为从数学的角度来看它们似乎比较优雅，但据我在有关 krylov 方法的调查中所读到的，它们作为预条件子的性能通常很差。用 Saad 和 van der Host 的话来说，“目前对这些技术的兴趣几乎消失了” （这里）。尽管如此，最近还是有用于多核和 GPU 计算的用途。
谁能告诉我或者更确切地说解释一下这些方法在哪些情况下仍然有效，以及在哪里可以找到关于当前技术状态的良好调查？
多项式预处理器的当前状态是什么？
计算科学
迭代法
预处理
克雷洛夫法
2021-12-11 00:07:12
1个回答
为了合理地执行，多项式预处理器需要相当准确的谱估计。对于病态椭圆问题，最小的特征值通常是分开的，因此像 Chebyshev 这样的方法远非最优。多项式方法最有趣的特性是它们不需要任何内积。
在多重网格中使用多项式平滑器实际上非常流行。与预调节器的主要区别在于，平滑器仅应针对频谱的一部分。例如，多项式平滑器目前是 PETSc 的多重网格中的默认设置。另请参见Adams 等人的并行多重网格平滑器：多项式与 Gauss-Seidel (2003)进行比较。
多项式预处理器可以纯粹用于减少归约的频率。尽管必须为每个矩阵重新调整它们，但对于减少成本高昂的硬件（在大型超级计算机上很常见），节省的成本可能很大。有关这方面的更多信息，请参见McInnes、Smith、Zhang 和 Mills，Hierarchical and Nested Krylov Methods for Extreme-Scale Computing (2012)。
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