如果您在长时间范围内进行天体力学，使用经典的龙格-库塔积分器将无法保存能量。在这种情况下，使用辛积分器可能会更好。Boost.odeint 还实现了一个 4 阶辛 Runge-Kutta 方案，该方案在较长的时间间隔下效果更好。据我所知，GSL 没有实现任何辛方法。

GNU Scientific Library (GSL) (C) 和Boost Odeint ( C++) 都具有 8 阶 Runge-Kutta 方法。

两者都是开源的，在 linux 和 mac 下，它们应该可以直接从包管理器中获得。在 windows 下，使用 Boost 可能比使用 GSL 更容易。

GSL 在 GPL 许可下发布，而 Boost Odeint 在 Boost 许可下发布。

编辑：好的，Boost Odeint 没有 Runge-Kutta 89 方法，只有 78，但它确实提供了制作任意 Runge-Kutta 步进器的配方。

然而，八阶方法相当高，而且很可能对您的问题过度杀伤。

Prince-Dormand指的是一种特定的 Runge-Kutta，与顺序没有直接关系，但最常见的是 45。Matlabs ode45，这是他们推荐的 ODE 算法，是 Prince-Dormand 45 的实现。这与 Boost Odeint Runge_Kutta_Dopri5中实现的算法相同。

总结几点：

1. 如果它是非耗散模型的长期集成，那么您正在寻找辛积分器。
2. 否则，由于它是一个运动方程，Runge-Kutta Nystrom 方法将比转换为一阶系统更有效。由于 DP，存在高阶 RKN 方法。有一些实现，比如在 Julia 中，它们被记录在案，这是一个 MATLAB。
3. 仅当您需要高精度解决方案时才需要高阶龙格-库塔方法。如果公差较低，那么 5 阶 RK 可能会更快（对于相同的错误）。如果您经常需要解决这个问题，最好的办法是测试一堆不同的方法。在这组关于 3 体问题的基准测试中，我们看到（对于相同的错误）高阶 RK 方法只是速度上的边际改进，尽管当错误 -> 0 时，您可以看到对 Dormand 的改进已经超过了 5 倍-Prince 45 ( DP5) 当您查看 4 位数的准确度时（不过，公差要低得多。公差只是任何问题的一个大概）。当您将公差拉得更低时，高阶 RK 方法的改进会增加，但您可能需要开始使用更高精度的数字。
4. dop853Dormand-Prince 7/8 阶算法与 Hairer和 DifferentialEquations.jl 的DP853 方法DP8（它们相同）具有不同的 8 阶表。后一种 853 方法无法在 Runge-Kutta 方法的标准画面版本中实现，因为它的误差估计器是非标准的。但是这种方法效率更高，我什至不推荐使用较旧的 Fehlberg 7/8 或 DP 7/8 方法。
5. 对于高阶 RK 方法，Verner“高效”方法是黄金标准。这显示在我链接的基准测试中。您可以自己将它们编码到 Boost 中，或者如果您想要更容易的话，也可以使用实现它们的 2 个包之一（Mathematica 或 DifferentialEquations.jl）。

我想补充一点，虽然 Geoff Oxberry 建议的长期积分（使用辛积分器）是正确的，但在某些情况下它不会起作用。更具体地说，如果你有耗散力，你的系统不再保存能量，因此在这种情况下你不能求助于辛积分器。问这个问题的人说的是低地球轨道，这种轨道表现出很大的大气阻力，这是一种耗散力，无法使用这种辛积分器。

在那种特定情况下（以及对于您无法使用/无法访问/不想使用辛积分器的情况），如果您需要长时间的精度和效率，我建议您使用 Bulirsch-Stoer 积分器。根据经验，它运作良好，也被 Numerical Recipes 推荐（Press et al., 2007）。