对于我感兴趣的问题，矩阵维度为 30 或更少。

正如 WolfgangBangerth 所指出的，除非您拥有大量此类矩阵（数百万、数十亿），否则矩阵求逆的性能通常不是问题。

给定一个正定对称矩阵，计算逆矩阵及其行列式的最快算法是什么？

如果速度是一个问题，您应该回答以下问题：

• 你真的需要整个逆吗？（许多应用程序不需要形成显式逆。）
• 你真的需要行列式吗？（行列式并不常见，但在计算科学中肯定不是闻所未闻。）
• 您需要高精度吗？（低精度算法往往更快。）
• 概率近似就足够了吗？（概率算法往往更快。）

对一个小的正定矩阵求逆并计算其行列式的问题的标准响应是 Cholesky 分解。如果$A = LL^{T}$， 然后$\det(A) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{2}$，和。$\det(A^{-1}) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{-2}$

假设是 ×，Cholesky 分解可以在次左右计算，这大约是 LU 分解成本的一半。然而，这样的算法不会被认为是“快速的”。随机LU 分解$A$$n$$n$$n^{3}/3$如果 (1) 您确实必须分解大量矩阵，(2) 分解确实是您的应用程序中的限制步骤，并且 (3) 使用随机算法产生的任何错误，这可能是一个值得考虑的更快算法可以接受。您的矩阵可能太小以至于稀疏算法不值得，因此更快算法的唯一其他机会将需要额外的矩阵结构（例如，带状），或利用问题结构（例如，也许您可​​以巧妙地重组您的算法，以便您没有不再需要计算矩阵逆或其行列式）。有效的行列式算法大致是在一个常数因子内求解线性系统的成本，因此用于线性系统的相同论点也适用于计算行列式。

简而言之，参考有关线性代数子例程的Julia 文档，他们注意到 Bunch-Kaufman 分解方法更适合于对称矩阵。（来自 NASA 的旧资源）毋庸置疑，正定矩阵是对称矩阵的子集，所以虽然 Bunch-Kaufman 分解是一种改进，但不一定是他们能做的最好的。

2015年matlab 用户提交的题为“Fast and Accurate Symmetric Positive Definite Matrix Inverse Using Cholesky Decomposition”清楚地表明了 Cholesky 分解，并且RFast 包同意这一观点，但另一个堆栈交换对话表明最好的方法实际上是依赖于应用程序的 - 所以如果您有时间对各种方法进行基准测试，这将为您提供更明确的答案。