在这个问题之前，我实际上从未听说过几何编程。这是 Stephen Boyd等人（Vandenberghe 也是合著者）的一篇评论论文，它是关于几何规划的教程。

最初表达的几何程序不是凸的。例如，是一个多项式，并且它不是凸的，因此几何程序不是凸规划的严格子集。$x^{1/2}$

将几何程序转化为凸程序的好处是原始几何程序不一定是凸程序。如果您将几何程序作为非线性程序 (NLP) 求解，则需要使用非凸优化方法以保证全局最优解。这些方法比凸优化方法更昂贵，需要更多的算法调整，并且需要初始猜测。

此外，如果您使用来自非凸 NLP 的算法，则需要在中将可行集指定为紧凑集；在几何程序中，是一个有效的约束。$\mathbb{R}^{n}$$x > 0$

目前尚不清楚这组几何程序是否（通过对数指数变换）映射到一组求解特别有效的凸程序。除了转换为凸程序之外，我认为几何编程没有任何优势。

至于你的最后一个问题，我不认为几何程序集与凸程序集同构，所以我怀疑存在不能表示为几何程序的凸程序，而在这些程序中，我怀疑有是一些几何程序无法很好地近似的。但是，我没有证据或反例。

几何规划可以转化为一类凸程序，它是所有凸程序集合的严格子集。然而，任意凸程序不能表示为几何程序。几何规划中的约束被限制为的形式，其中是多项式（即具有正系数的多项式）。多项式在加法、乘法和正缩放下是封闭的。现在，如果您考虑约束，那么$f(x) \leq 1$$f(x)$$-x-y \leq 1$$-x-y$本身不是多项式。它不能表示为多项式的加法/乘法，也不能是另一个多项式的正缩放。因此它不能成为几何程序的一部分。但是上面的约束是线性的，因此程序是凸的。确实存在混合线性几何规划，其中可以添加任意线性约束，但也可以转换为凸程序并有效求解。由于与上述相同的原因，即使通过混合线性几何规划也无法处理更复杂的约束，例如$-x^2-y^2\leq 1$