如果您可以计算产品$A$和$A^T$，正如您在评论中指定的那样，您可以运行基于 Lanczos 双对角化的经典稀疏 SVD 算法，例如scipy.sparse.linalg.svdsMatlab'ssvds或 Julia's 。Arpack.svds它们旨在计算奇异值，并且可能比手动编码的最小化程序更健壮。

然后距离（在欧几里得或 Frobenius 范数中）$A$到最近的奇异矩阵恰好是最小的奇异值$\sigma_{\min}$. 您将无法使用 IEEE 算法返回确切的是/否答案，因此这是您能做的最好的事情。

我还建议研究条件数估计器，它将（具有某种程度的 [不] 可靠性）预测矩阵在数值奇异上的有效性。

特别是，

• 基于 LSQR的“大稀疏矩阵的谱条件数估计”似乎是一个有趣的选择。

有一天引起了我的注意。我还建议查看本文中的参考资料，以了解该问题。

@Federico Poloni 的好答案表明不可能使用 IEEE 算法得到准确的是/否答案。

但是，使用带外舍入的区间算术，可能会得到“非单数/不知道”的答案。特别是，有可能明确得出最小奇异值严格大于零的结论。

请参阅已验证的奇异值边界，尤其是矩阵及其逆矩阵的谱范数，Siegfried M. Rump, BIT, 51(2):367384, 2011。

例如，可以使用MATLAB 下的INTLAB（由 Siegfried M. Rump 开发）来完成这种使用最小奇异值的向外舍入的区间算术计算。

结果将是：

1. “非奇异”，即矩阵不是奇异的，因为它的最小奇异值肯定>0

或者

2. “不知道”，即未明确确定矩阵是否奇异，因为未明确确定其最小奇异值是否=0

具有向外舍入的“标准”区间算术（包括 INTLAB）是使用双精度浮点算术完成的。但是，可以以更高的精度执行具有向外舍入的区间算术。这样做可能会为某些使用带外舍入的双精度区间算术“评估”为“不知道”的矩阵提供明确的“非奇异”结果。在具有向外舍入的无限精度区间算术的（不可实现的）限制中，可以明确地确定给定矩阵是否是奇异的。

这是我的 2 美分。我将设置以下最小化问题

如果的特征值为零，则将存在一个非零使得。所以，我会尝试计算 wrt的梯度，并使用梯度下降算法将推向零。如果你合理地接近零（ 1e-12），那么矩阵是奇异的。的第一个变体可以计算为$A$$x$$\pi(x)=0$$\pi$$x$$\pi$$\pi\approx$$\pi$

您还需要避免的情况。从非零随机向量开始可能会有所帮助。$x=0$

在这里，您需要计算与的乘积。鉴于您拥有的约束（您只能计算），我不确定这是否可能。也许专家可以回答。$A^T$$Ax$$Ax$