从计算电磁学背景说起，我认为这是一种非常优雅的离散问题的方法。我已经在特征模态和边值问题中成功使用了它。如果你使用对角霍奇星（集中质量近似），它可能不如严格的有限元离散化准确，但我认为如果你仔细计算你的霍奇星，它仍然可以达到相同的渐近收敛速度（它在电磁学中可能比在连续体力学）。所以它可能只是一个更糟糕的常数因子（理论上，实际上它可能可以忽略不计）。

DEC 极大地简化了问题的表述，并允许您更多地关注问题的物理性质。霍奇星的构造迫使您思考本构关系的含义以及执行空间平均的物理意义方式是什么。它似乎还保留了离散设置中连续问题的许多重要对称性，并且可能比在有限元设置中更容易证明这些。

最后，作为编写代码的人，我很欣赏在矩阵组装期间不必执行求积。相反，您通常可以使用假设的空间变化形式使用分析空间平均值来计算霍奇星。在我们在空间上具有分段常数材料属性的电磁学中，可以精确计算这些平均值，从而使整个问题相对于空间几何中的小扰动变得平滑。这极大地帮助了您可能想要围绕您的方法进行的任何优化。

这个回应晚了几年，但我觉得这些问题在今天仍然有意义。近年来，DEC在计算机图形学、几何处理、Navier-Stokes方程和达西流等领域出现了新的应用。在下面建议的论文的介绍中，您将快速概述使用 DEC 的领域（包括线性弹性、电动力学和变分积分器）（引用的一些作者在 DEC 文献中非常活跃）。

正如 timur 在 mathoverflow 博客上的回答中所说，在特殊情况下，可以通过将 DEC 与其他已知的收敛方法相关联来获得收敛。然而，在制定解决融合问题的一般框架方面进行了认真的尝试。最近，我们证明了离散 L2 范数中任意维度的泊松问题（函数，即 0 形式）的 DEC 解决方案的收敛性。与其他规范中离散解的渐近行为相关的许多问题和问题仍未解决，但以下是朝着更好地理解该理论迈出的值得欢迎的一步：https ://arxiv.org/abs/1611.03955 （离散外部的收敛泊松问题的微积分近似，Erick Schulz 和 Gantumur Tsogtgerel，2016）。

离散外微积分 (DEC) 具有优点和缺点：

优点：

易于“使用”对于学生来说，为简单的 PDE 组装离散化和求解器非常容易，例如曲面上的拉普拉斯/泊松 (Laplace Beltrami)。它使该方法在计算机图形学中非常流行，仅次于加州理工学院几何实验室。在主要图形会议（SIGGRAPH）上做了一些课程，请参阅其他答案中的参考。在计算机图形学中尤其如此，学生对矩阵很了解，但对积分不太熟悉。使用 DEC，他们可以“玩乐高”并解决简单的偏微分方程，而不会遭受太多痛苦。

使一些计算更简单DEC 是 EC（外部微积分，由 Elie Cartan 于 1899 年至 1945 年发明）的一种体现。EC 的核心是形式（“要集成的东西”）和链（“集成域”）的概念，以及它们之间的二元性。几个定理（Stokes、Green-Gauss、Ostrogradsky 和分析基本定理）是这种二元性的特例。这不仅优雅，而且在某些情况下（如电磁学）使计算更简单，并且在许多情况下避免引用对象的参数化（例如在表面上或在弯曲时空设置中操纵矢量场时）相对论）。

展现非凡的自由度通过解释形式（“要集成的事物”）和链（“集成域”）之间的关系，EC 可以展示对象的非平凡参数化，例如表面上的矢量场，并解释矢量场的拓扑结构与底层表面（同调：曲面上跟踪的曲线的拓扑，上同调：矢量场的拓扑），请参阅 [1] 进行深入研究。我们在[2,3]中使用它来研究离散向量场的拓扑自由度。这种推理能力的一个令人印象深刻的例子是 Gortler 等人对 Tutte 的平面嵌入定理的证明 [4]。该定理的先前证明（由 Tutte，后来由 Colin de Verdière）需要一定的图论背景才能理解。Gortler 等人的证明。al更容易访问，

缺点：

加州理工学院几何实验室推广的 DEC 简化版。隐藏在引擎盖下的许多细节。虽然在欧几里得和曲线设置上推导拉普拉斯和泊松方程是可以的，但在离散更复杂的方程时很快会遇到一些问题，因为它不会激发提出关于收敛到连续设置和/或属性的问题通过离散化保留（具有 div/grad/curl 的恒等式，称为 Hodge 复合体，由 Jenny Harisson 和 Robert Kotiuga 等数学家研究）。它在计算机图形学中的使用方式（主要用于拉普拉斯方程）在大多数情况下并没有比经典的 P1 FEM 拉普拉斯算子带来更多。我更喜欢经典的 P1 FEM 拉普拉斯算子，因为它既给了你离散化的公式，又解释了你为什么。另一方面是加州理工学院推广的DEC形式混合了Hodge星和内积的方式。虽然将离散拉普拉斯算子组装为单个矩阵很容易，但它并没有说明如何将函数投影到如此定义的函数空间上，并且也难以理解正交性如何起作用：您获得一个等于其中是内积的压缩矩阵，是刚度矩阵，您不再看到特征向量与中离散化的内积正交，因为您看不到。$B^{-1}A$$B$$A$$B$$B$

结论/总结： EC 和 DEC 是研究复杂问题（电磁学、任意拓扑表面上的矢量场）的有力理论。它在计算机图形学中的使用方式使不懂积分的学生可以轻松地做简单的事情。对于简单的事情，我倾向于使用经典的 FEM 公式，其中从理论到离散化以及理论保证的完整演绎路径更容易遵循。对于复杂的事情，它可以非常优雅和高效（前提是所有推理路径都被保留，而不是仅仅用某些形式的离散霍奇星和离散外导数“玩乐高”）。

[1] Douglas Arnold，有限元外微积分，2006

[2] N-Symmetry 方向场设计，ACM Trans。图表，2008

[3] 几何感知方向场处理，ACM Trans。图表，2009

[4] Tutte 平面嵌入定理的基本证明，Gortler，Gotsmann，Thurston，2006 年，计算机辅助几何设计

我会说似乎有一些兴趣，但它并没有爆炸。这对我的口味来说有点太有限了，但我是一个有限元素的人。