计算科学 - 数值：如何重新规范化以下 ODE - 吾爱随笔录

数值：如何重新规范化以下 ODE

计算科学颂

2021-12-15 08:35:33

这个问题更多地是关于如何以数字方式解决问题。

在一个小项目中，我想模拟 Janus 和 Epimetheus 的轨道运动。这基本上是一个三体问题。我选择土星固定在原点，让 $r_1$ 和 $r_2$ 分别是janus和epimetheus的位置向量。由于当 Janus 和 Epimetheus 非常接近时会出现这种效果，所以我选择了相对坐标以获得更好的分辨率，即 $r=r_1-r_2$ 和 $R=r_1+r_2$ . 现在我得到以下运动方程：

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (\binom{R}{r}) = - G (m_{2} \pm m_{1}) \frac{R}{R^{3}} - 4 M G (\frac{r + R}{(r + R)^{3}} \mp \frac{r - R}{(r - R)^{3}})

$\frac {d^2}{dt^2} \binom{R}{r} = - G (m_2\pm m_1) \frac R {R^3} - 4 M G \left(\frac {r+R}{(r+R)^3} \mp \frac {r-R}{(r-R)^3}\right )$

其中对应于卫星的质量，是土星的质量，是引力常数。当我尝试以数字方式解决这个问题时，问题就出现了。必须处理大小完全不同的值，即和。并且 ,在 0 到 150,000 的范围内。 $m_i$ $M$ $G$ $M \sim e^{28}$ $m_i \sim e^{17}$ $r$ $R$

老实说，我不确定这是否是讨论此类数字问题的地方论坛。

更多信息：

代码是用 Matlab 编写的，我使用标准 ODE 求解器来获得结果。然而，这是失败的，因为在机器精度下无法减小步长。（我觉得这并不奇怪，因为必须处理已经提到的数量级）。

3个回答

您当前的方法破坏了数值稳定性；实际上，您可能会以这种方式失去分辨率。

将每颗卫星的开普勒变量和包含卫星位置、速度和原点的平面角度作为坐标。卫星之间没有相互作用的微分方程非常简单，只有相互作用变得有些复杂。如果卫星距离很远，则相互作用很小，因此产生的动力学应该在数值上是稳定的。

您可以使用专用算法进行几何数值积分，而不是使用“经典”（刚性）ODE 求解器。例如，请参阅本书以及您可以在Ernst Hairer 的网站上找到的 GNI 代码。

如果您在模拟中包含三个步骤，情况如何：

通过计算 Janus - Saturn 力来更新 Janus 位置。
通过计算 Epimetheus - Saturn 力来更新 Epimetheus 位置。
通过计算 Janus - Epimetheus 力来更新 Janus 和 Epimetheus 的位置。

可能对#3 使用更精细的时间步长。

我不确定这是否会有所帮助。我想真正的问题是月球和月球土星情况下力的大小是不同的，除非卫星很接近？

或者：

如果卫星关闭，则使用它们的质心向量计算一个近似的卫星 - 土星力，并使用相同的向量更新两个位置。
如果它们相距甚远，请单独更新它们。
和以前一样。

祝你好运！

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