计算科学 - 非线性方程的迭代解 - 吾爱随笔录

计算科学迭代法非线性方程根

2021-12-18 09:21:53

如果这个问题很愚蠢，我提前道歉。我需要计算的根

u - f (u) = 0

$\begin{equation} u -f(u) =0 \end{equation}$

其中是实向量，是实向量值函数。我从牛顿的方法开始（有效），但后来意识到一个更简单的方法将是一个迭代解决方案 $u$ $f(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$\begin{equation} u_{i+1} = f(u_{i}) \end{equation}$

这比牛顿法要快得多，而且显然与牛顿法一样准确/稳定。

现在的问题：

提前感谢大家的关注。

4个回答

如果，其中是解决方案，那么您所说的不动点迭代是局部线性收敛于收敛速度的。因此，如果很小或为零，则该方法与牛顿方法具有竞争力。 $q:=|f'(x^*)|<1$ $x^*$ $q$ $q$

远离解决方案，在没有全局信息的情况下很难预测收敛（例如 Lipschitz 常数，它会产生收缩）。 $<1$

费根鲍姆分形是一个很好的例子，说明了定点迭代的奇怪之处：

第二个链接绘制了当参数之一变化时应用于逻辑图的固定点迭代的行为。对于某些值，它会收敛，尽管只是线性的。对于其他值，它会收敛到一个不同长度的循环。对于另一类值，它的行为完全混乱。

换句话说，定点迭代的行为完全取决于所讨论的函数。即使看起来相似的函数也可能表现出完全不同的行为。

注意：正如 Jed 指出的那样，牛顿迭代可能同样奇怪。

Banach 不动点定理描述了当定点迭代全局收敛时的标准情况。尤其是定理的唯一性部分表明，如果解决方案不是唯一的，则只能期望局部收敛。

大多数局部收敛的情况都可以用这个定理来解释，至少在理论上是这样。对于上述某些分形中发生的收敛也是如此。只是该定理必须应用于而不是在某些吸引力盆地。 $f^n=f\circ \ldots\circ f$ $f$

您可能会认为此参考很有用：A Homotopy for Solveing Large, Sparse and Structured Fixed Point Problems。R.赛加尔。运筹学数学，卷。8，第 4 期（1983 年 11 月），第 557-578 页。

其它你可能感兴趣的问题