计算科学 - 有没有明确的辛龙格-库塔方法？ - 吾爱随笔录

计算科学颂龙格库塔

2021-12-07 10:58:08

据我所知，所有辛Runge-Kutta方法都是隐式的，需要在计算过程中求解非线性方程。有没有明确的方法？如果不是，为什么？

1个回答

对于某些类型的哈密顿问题，有明确的辛方法。例如，辛欧拉方法

\begin{aligned} p_{n + 1} & = p_{n} - h H_{q} (p_{n + 1}, q_{n}) \\ q_{n + 1} & = q_{n} + h H_{p} (p_{n + 1}, q_{n}) \end{aligned}

$\begin{align} p_{n+1} &= p_n - h H_q(p_{n+1}, q_n) \\ q_{n+1} &= q_{n} + h H_p(p_{n+1}, q_n) \end{align}$

是辛的，参见例如第 3.3 页的定理 3.3。189 在 Hairer、Wanner 和 Lubich 的书中（参见下面的完整参考资料）。对于简单的功能 $H$ 喜欢 $H(p, q) = \frac{1}{2} \left( p^2 + q^2 \right)$ , 这变成

\begin{aligned} p_{n + 1} & = p_{n} - h q_{n} \\ q_{n + 1} & = q_{n} + h p_{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align} p_{n+1} &= p_n - h q_n \\ q_{n+1} &= q_n + h p_{n+1} \end{align}$

这是明确的。更一般地说，这种方法对于可分离的哈密顿量是明确的（参见上述定理之后的评论）。

在第 VIII.6 页。325，Hairer 等人指出

一般哈密顿方程的辛方法是隐含的，一般可逆系统的对称方法也是隐含的。

因此，对于一般哈密顿函数没有明确的辛方法。不过，我找不到说明这一点的特定定理。

海尔，恩斯特；卢比希，克里斯蒂安；Wanner，Gerhard，几何数值积分。常微分方程的结构保持算法，计算数学中的 Springer 系列 31。柏林：Springer (ISBN 3-540-30663-3/hbk)。十七，644 页。（2006 年）。ZBL1094.65125。

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