计算科学 - FEniCS：电介质静电问题的边界条件 - 吾爱随笔录

FEniCS：电介质静电问题的边界条件

计算科学芬尼克斯边界条件电磁学

2021-12-10 14:23:51

我仔细阅读了大约 70 页的 FEniCS 教程，当我拥有不同介电常数的材料时，我仍然不明白如何解决静电问题。静电中的自包含方程组

d i v D = 4 π ρ, D = ε E, E = - \nabla φ .

$\mathrm{div}\boldsymbol{\mathcal{D}}=4\pi\rho,\\ \boldsymbol{\mathcal{D}}=\varepsilon\mathbf{E},\\ \mathbf{E}=-\nabla\varphi.$ 仅适用于函数可微且平滑的区域。在具有不同材料的两个区域之间的界面处，这些方程必须通过以下边界条件进行扩充：

φ_{1} = φ_{2}, ε_{1} \frac{\partial φ_{1}}{\partial n} = ε_{2} \frac{\partial φ_{2}}{\partial n} .

$\varphi_1=\varphi_2,\\ \varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}.$ 如何指定第二个边界条件？本教程中的示例仅考虑了一个简单的案例

\frac{\partial φ}{\partial n} = 0

$\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0$ 两个区域之间。

2个回答

由于在subdomains-poisson网格与界面对齐的情况下处理了该问题，因此我在下面假设在您的情况下，跳转可以发生在任何地方。

我认为这里的第一步不是考虑实现 FEniCS，而是为这个问题找到一个适当的变分形式，其中适当地结合了接口条件。该问题看起来可以使用以下方法的变体进行处理：

Hansbo, A. 和 Hansbo, P.基于 Nitsche 方法的非拟合有限元方法，用于椭圆界面问题（Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng.，第 191 卷，第 47-48 期，2002 年 11 月 22 日，第 5537–5552 页）

免责声明：对于您的具体情况，可能还有其他选择，也许还有更好的选择，但我最熟悉 Nitsche 类型的技术。

一旦你知道如何离散化你的问题，你就可以考虑在 FEniCS 中实现。据我所知，在 vanilla FEniCS 中直接实现此方法是不可能的。dolfin-olm可以用来实现这个方法。到目前为止我还没有使用它，我不知道它是否适用于当前版本的 FEniCS，我不知道他们是否同时将它（部分）合并到 dolfin 中。

再次注意，在标准有限元方法中，可以通过将网格与界面对齐来考虑界面条件。如果这是一个选择，你应该这样做。

Poisson 问题的 Vatiational 公式化 $\varepsilon \in L^\infty$

两种界面条件都包含在以下变分问题中。给定

$\Omega$ Lipschitz 域
$\partial\Omega = \Gamma_\mathrm{D} \cup \Gamma_\mathrm{N}$
$V=\{v\in H^1(\Omega); v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0 \}$
$\varepsilon\in L^\infty(\Omega)$
$g \in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$

寻找 $\varphi\in V$ 这样

\int_{Ω} ε \nabla φ \cdot \nabla ψ d x = \int_{Ω} ρ ψ d x + \int_{Γ_{N}} g ψ d S \forall ψ \in V

$\int_\Omega \varepsilon \nabla \varphi \cdot \nabla \psi \;\mathrm{d}x = \int_\Omega \rho \psi \;\mathrm{d}x + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g \psi \;\mathrm{d}S \quad \forall \psi\in V$

这里 $g$ 表示 Neumann 条件 $\varepsilon\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{n}} = g$ 在 $\Gamma_N$ . 此公式会自动处理您的两种界面条件。你通过划分来检查它 $\Omega$ 进入子域 $\varepsilon$ 取两个不同的值，并通过接近这些子域的特征函数的东西进行测试。而且 $\varepsilon$ 可以更加任意 - 基本有界就足够了。请注意，我扔掉了 $4\pi$ 对应于 SI 单位。如果您想从物理学家的角度推导出这个公式，只需在适当的（考虑到狄利克雷条件）空间中取场能的 Gateaux 导数减去电荷能。

为了在 FEniCS 中实现，只需选择符合条件的 FE 空间，即任意顺序的拉格朗日/CG 元素。问题在subdomains-poisson演示中实现，假设不连续 $\epsilon$ 匹配网格面。

不连续性 $\varepsilon$ 与网格不匹配

如果您需要不连续的不匹配网格，您可以尝试DOLFIN-PUM实现 XFEM/PUM 方法的库。它现在没有维护，Garth 说有计划直接在 FEniCS 中更好地实施。图书馆能够准确地整合这种类型的不连续性 $\epsilon$ . 但是还有一个问题是 XFEM/PUM 方法也会在您的解决方案中引入不连续性，您需要以某种方式强制执行连续性。它可以用拉格朗日乘数、惩罚等来解决，但如果我成功了，我就不记得了。

您还可以使用标准公式解决网格不匹配的问题并增加正交度或插值 $\varepsilon$ 在计算之前到一些高阶空间。我也用 $C^k$ 近似于 Heaviside 函数 $k=0,1,2$ 定义材料不连续性。您可以使用conditional. 这些方法都不能集成 $\varepsilon$ 确切地说，但它可以以某种方式增强解决方案。

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