这是对问题评论中讨论的回应/回答。

我也一直在寻找资源，我也找不到。我想知道我是不是记错了。让我也许用我自己的话来讨论一下。

首先，我们知道复矩阵是正定的，例如当且仅当它的 Hermitian 部分是正定的。由于我们有 Hermitian 部分的 PDness，我们知道矩阵本身也是 PD。我们知道 GMRES 保证在的精确解，PD 矩阵是非奇异的，因此 GMRES 将收敛。$A$

$$Re[x^{\ast}Ax]>0 \qquad \forall x\in\mathbb{C}^n,$$ $(A+A^H)/2$$A\in \mathbb{C}^{n\times}$$n$

（我相信您已经知道下一部分，但我会重复它以使其更具前瞻性。）

然而，预测 GMRES 到容差的收敛性仍然不是直截了当的。最常见的方法是检查矩阵的特征值（可以在过去十年发表的论文中找到），尽管 Greenbaum 等人。表明矩阵的特征值不是 GMRES 在他们1996 年的工作“GMRES 的任何非增加收敛曲线是可能的”中收敛的良好预测指标。因此，提出了（并且应该使用）替代分析技术，即伪谱和值域（数值范围）。的值域 (FOV)定义为集合$A$$FOV(A) = \{z^{\ast}Az : z\in \mathbb{C}^n, \|z\|=1 \}$. 此外，我们知道如果 FOV 不包含原点，则可以（渐近地）预测 GMRES 收敛（参见答案末尾的参考资料）。

现在，我记得（从我们都找不到的引文中）BiCGStab( ) 和 IDR(s) 都可以用另一种 Krylov 子空间方法来编写，然后是 GMRES( ) 用于小，比如（或分别为 s）。那么，论点是，在 BiCGStab 的每后半迭代（应用 GMRES( ) 的地方）它是“保证的”（带着一点盐，可能是错误的记忆），残差会有所减少。因此，我们期望 BiCGStab( ) 收敛曲线是单调递减的。因此，最终 BiCGStab( ) 将收敛（尽管它可能需要超过$\ell$$m$$m$$0<m\leq \ell$$\ell$$\ell$$\ell$$n$迭代）。据我记得，关于 IDR(s) 的论点是相似的。

对 GMRES 的一些新结果进行全面审查：J. Liesen 和 P. Tichý，理想 GMRES 的值域范围，arXiv:1211.5969，2018。

尝试各种形式的伍德伯里矩阵恒等式怎么样？

https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity

根据对称和反对称分量的突出程度，您可以将反对称部分视为原始矩阵的微小扰动。

$$A^{-1}=(A_s-A_a)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(A_s^{-1}A_a)^kA_s^{-1}$$ 其中和。也许您只需要总和的几个项就足够接近了。$A_s=\frac{1}{2}(A^T+A)$$A_a=\frac{1}{2}(A^T-A)$

$$A^{-1}\approx A_s^{-1} + A_s^{-1}A_aA_s^{-1}$$

的幂，反对称矩阵还有一些有趣的属性是显而易见的。$A_a^k$