计算科学数值分析颂时间积分保护

2021-12-18 18:19:35

我正在使用振荡器的简单示例：

(1) \ddot{u} + u = 0, u (0) = u_{0}

$(1) \; \; \ddot{u} + u = 0, \; \; u(0) = u_0$

我知道 Forward Euler 不保留上述系统的不变量：

(2) {\dot{u}}^{2} + u^{2} = 1

$(2) \; \; \dot{u}^2 + u^2 = 1$

如果我将它写为一阶方程组，我可以得到一个矩阵的特征值，该矩阵使用前向欧拉近似求解但是，鉴于这些特征值和前向欧拉的稳定性属性，我不明白我能推断出前向欧拉保持 $(1)$ $(2)$

我希望能够总体上理解这一点，对于任何方案，不一定是 FE。

因此，例如，我知道梯形规则方案与前向欧拉不同，擅长保留，但我很难看到基于梯形规则的问题的矩阵特征值在质量上有何不同。 .. $(2)$

梯形规则是 L 稳定的（即， for with），但 Backwards Euler 也是如此，它不保留。这里的模式是什么？ $Re(G(k\lambda)) < 0$ $\dot{u} = \lambda u$ $Re(\lambda) < 0$ $(2)$

2个回答

在某种意义上，@Geoff Oxberry 说二次不变量的稳定性和保存没有直接关系是正确的。例如，存在可以为您的问题保留能量的显式方法（它们肯定不是稳定的）。 $A$

然而，在另一种意义上，两者之间存在某种关系。

体贴入微

首先，请注意，您所描述的问题不是很好，并且您给出的不变量不符合问题描述。我相信你应该有

\ddot{u} + u = 0

$\ddot{u} + u = 0$

有初始条件

u (0) = u_{0}

$u(0) = u_0$ 和其中。那么问题是适定的，并且您编写的不变条件如下。

\dot{u} (0) = v_{0}

$\dot{u}(0) = v_0$

u_{0}^{2} + v_{0}^{2} = 1

$u_0^2 + v_0^2 = 1$

能量守恒

现在，如果你将这个二阶方程重写为一阶系统

(\begin{matrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}),

$\begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix},$

你发现特征值是。如果我们将上面的系统写为，则精确解由给出，你有能量守恒的原因是对于的两个特征值。 $\pm i$ $\dot{w} = A w$

w (t) = \exp (A t) w (0)

$w(t) = \exp(At)w(0)$

| e^{λ t} | = 1

$|e^{\lambda t}|=1$

A

$A$

用一步法离散化后，您将得到一个形式为

w_{n + 1} = R (Δ t A) w_{n},

$w_{n+1} = R(\Delta t A)w_n,$

其中是数值时间步长，是方法的稳定性函数（通常是多项式或有理函数）。由于是正常的，因此要进行离散守恒，您需要. $\Delta t$ $R(z)$ $A$

| R (\pm i Δ t) | = 1.

$|R(\pm i \Delta t)|=1.$

解释刚刚陈述的条件的一种方法是说ODE 系统的特征值，按数值时间步长缩放，必须位于数值积分器的绝对稳定区域的边界上。这是因为稳定区域被精确地定义为复数的集合，其中。 $z$ $|R(z)| \le 1$

因此，只要有正确的时间步长，即使是四阶龙格-库塔方法也可以用来保存这个问题的能量，因为它的稳定区域边界与虚轴相交。当然没有人推荐这个，因为它只适用于的一个特殊值。 $\Delta t$

梯形法则对任何时间步都保持能量守恒，因为它的绝对稳定区域正好是左半平面；都满足上述条件。 $\Delta t$

同时，前向或后向欧拉方法不可能保存能量，因为这些方法有一个稳定区域，其边界仅与原点处的假想轴接触。

不变量的稳定性和保存是不相关的。Hairer 在他的书Geometric Integration中很好地证明了各种方法如何保留不同类型的不变量。第三章与您的问题最相关，例如，他在其中演示了 RK 方法和线性多步方法保留了线性第一不变量。

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