计算科学 - 求解随时间变化的矩阵加对角矩阵系统的有效方法 - 吾爱随笔录

计算科学颂线性求解器

2021-12-01 21:12:12

在求解 ODE 系统时，作为预处理器的一部分，我得到了系统

$(A + D(t))x = b(t)$

其中 $A$ 是稀疏矩阵， $D(t)$ 是对角线。我目前正在通过对每个 $t$ 进行系统的 LU 分解来解决这个问题。 $A$ 在整个解中是恒定的。

有没有一种算法可以让我有效地解决这个问题，而无需在每一步都重新计算分解？

2个回答

我不相信在你的情况下直接解决是可能的，有太多用户的应用程序太多，如果可能的话，这将受益匪浅。特别是计算线性时不变系统或使用交替方向求解 Lyapunov 矩阵方程的因式分解到的因式分解廉价地传递的算法都将极大地促进隐式 (ADI) 方法。 $T(s) = C(A - sI)^{-1}B+D$

\begin{aligned} x^{'} (t) & = A x (t) + B u (t) \\ y (t) & = C x (t) + D u (t) \end{aligned}

$\begin{align} x'(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\ y (t) &= Cx(t) + Du(t) \end{align}$

A X + X A^{T} = B B^{T}

$AX + XA^T = BB^T$

A

$A$

A - s I

$A - sI$

如果具有低秩，那么 Sherman-Morrison-Woodbury 公式将允许您快速求解具有系数矩阵系统，前提是您可以快速求解具有系数矩阵系统。但是，我认为这不太可能。 $D(t)$ $A + D(t)$ $A$

我建议您将线性系统视为 t 的。很可能可以微分几次，这表明的未来值可以从过去的值中推断出来。特别是，如果足够小，则值的简单且易于实现的初始猜测。更复杂的近似是可能的，但它们不一定值得付出努力。 $x$

(A + D (t)) x = b (t)

$(A + D(t)) x = b(t)$

t

$t$

x

$x$

t

$t$

x

$x$

h

$h$

x_{0} = x (t), or x_{0} = 2 x (t) - x (t - h)

$x_0 = x(t), \quad \text{or}\quad x_0 = 2x(t) - x(t-h)$

x (t + h)

$x(t+h)$

我进一步建议您使用预处理的 Krylov 子空间方法解决您的线性系统。与其为每个时间步计算一个新的预处理器，我建议您循环使用几次预处理器，并且仅在当前的预处理器无效时计算一个新的预处理器，即迭代计数变得太大。

我不能保证这些选项会给你你正在寻找的速度，但至少它们提供了一些可以调整的参数：初始猜测的选择、预处理器和计算新预处理器之前的时间步数.

否（除非几乎没有非零）。这个问题的变体在这里被问了很多，答案总是相同的。 $D$

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