TL;DR：我认为您无法击败任何真实/供应商的特征求解器，但想想很有趣。

更深切：对称特征分解的一种经典算法是通过户主方法对 A=Q T Q' 进行三对角化，然后在 T 上进行 QR 迭代。QR 迭代（非常）松散地基于迭代：[Q,R] = A; A = R * Q。也就是说，在 QR 分解之间交替，然后以相反的顺序将它们相乘。在多次迭代的限制下，A 将收敛到对角矩阵（从而显示特征值）并且也与原始输入相似（相同的特征值）。

对于对称正定 A，我认为理论上您可以使用基于 Cholesky 分解的类似三元迭代的方法击败该算法 [Consult Golub & Van Loan 第 3 版，第 8 章，问题 8.2.1]。它会（非常）松散地基于迭代 [G,G'] = chol(A); A = G'*G。也就是说，计算 Cholesky 分解，然后以相反的顺序将它们相乘。值得注意的是，这也收敛到一个对角矩阵，这类似于原始输入。与正交迭代的偏离是轻微的担忧，但幸运的是 Cholesky 分解也相当稳定。您还希望使用户主三对角化“前端”该算法，以便所有有问题的 A 都变成三对角线，而 Cholesky 都是带状的，band=1。从根本上说，

我认为您还可以在进行过程中“累积”所有这些相似性变换（本质上是带状反解步骤），以构建特征向量。这就是在经典 QR 迭代中累积给定旋转的方式。如果由于某种原因这是不可行的，一旦你掌握了特征值，你总是可以在最后使用逆迭代。

综上所述，真实/供应商求解器不仅在执行愚蠢的 QR/RQ/QR/RQ 迭代......（至少）还有转移，以及该领域更广泛的（更快！）算法（划分和征服、MRR、二等分等）。这是一个荒谬的机器/累积改进，试图与之竞争......许多（!!）人年的努力已经投入到这些算法及其实现（EISPACK/LAPACK/MKL/等）的开发中。我认为这是一个有趣的思想实验（哇，一个由如此简单的分解构建的特征求解器），但不是一个非常实用的实验。

对称矩阵的特征分解有专门的方法。LAPACK 有DSYEV，Numpy 有numpy.linalg.eigh。它们仍然是，但总体上更便宜且更准确。你应该使用它们。$O(n^3)$

我不熟悉 JAMA，但从我可以谷歌并在一分钟内理解的内容中，它是 QR/Francis 算法的旧的 pre-LAPACK 实现的纯 Java 端口。这可能是让你慢下来的原因。尝试用本机代码替换它：找到用您的语言包装 LAPACK 的任何库，然后使用它。

据我所知，您的矩阵是半正定的，也无法从它具有对角线 1 的事实（当人们说“协方差矩阵”时假设的属性）获得进一步的加速。我认为，如果可以的话，廉价的缩放和移位技巧将允许对所有对称矩阵应用相同的加速。

我认为，对于$100 \times 100$，您应该对 Matlab 中的 eig 方法或 Numpy/Python 中的 numpy.linalg.eig 感到满意。因为它是一个协方差算子，所以它是对称正半定的。或许您可以通过求解器传递这些信息来加快实现速度。

对于如此小的矩阵，几乎没有机会更快地解决它。

如果你的协方差矩阵有一些结构，确实有更快解决问题的方法 - 并且比$100 \times 100$：

• 如果您的矩阵是 Toeplitz 或带有 Toeplitz 块的 Block-Toeplitz，则可以使用循环嵌入来采样$O(N \log N)$. 链接到教程。

• 有一些多极方法可用于加速协方差算子的特征分解。请参阅此技术报告。

• 您需要解决几个矩阵的特征分解。如果有一些底层结构，您可以在减少的基础上解决问题。我和我的同事提供的预印本可能会对您有所帮助。

Schur 分解是寻找对称矩阵的特征值和特征向量的一个很好的解决方案。在 MATLAB 中，使用 schur.m。