我有一个变分问题，其中未知函数是周期性路径$\gamma:[0,1)\to\mathbb{R}^2$，泛函为

$$\int_0^1\left( \tfrac12\|\dot\gamma(s)\|^2 + \mathcal{F}[\gamma]\right)\,ds.$$ 这里$\mathcal F$取决于的值$\gamma$在不同的值$s$, 所以它不仅仅是一个函数$\gamma(s)$，像这样： $$\mathcal{F}[\gamma](s) = \sum_{0<j<n}\frac{1}{\|\gamma(s+j/n)-\gamma(s)\|}.$$

我目前的方法是扩展$\gamma$成它的傅里叶分量$e^{2\pi \mathrm{i} k s}$以确保周期性，并使用牛顿型方法来最小化作为傅立叶系数函数的函数。对于任何给定的傅立叶系数集，我可以有效地计算泛函及其梯度，部分原因是积分可以使用梯形规则完成，该规则对于周期函数快速收敛。

我遇到的问题之一是很难探索函数可能具有的所有不同最小值，因为除了我可以对傅里叶系数施加的一些线性约束之外，我几乎无法控制我得到的局部最小值。

有没有一本很好的关于数值变分方法的研究生/研究级书籍可以解释我应该尝试的不同事情？调查文章？

编辑：我使用的确切功能来自 n-body 编排问题，但我对这里的一般想法比对这个特定应用程序更感兴趣。