我正在寻找不假设任何关于矩阵或其起源的预处理器。我基本上希望能够在 MATLAB 中输入以下内容并快速解决问题：
a = rand(5000,5000);
b = rand(5000,1);
precond_a= my_precond_algorithm(a);
qmr(a,b,1e-8,100,precond_a)
不用说，是稠密的。
我调查过：
卢工作得很好。但这并不奇怪。
我仍然要为密集矩阵的 ILU 找到一个好的算法，但我认为它应该工作得相对较好。
稀疏逆近似器（Benzi 等人）。
Prakash 和 Mittra 的一篇论文讨论了使用 Multifrontal Preconds 解决密集 Maxwell 方程离散化问题。
除了 LU，我仍然有点担心将它们用作大型密集矩阵的有效预处理器的可行性。任何资源/意见将不胜感激！
了解更多有关结构的信息至关重要。随机条目是均匀分布还是正态分布以及是否存在偏移很重要。如果根本没有结构，那么你就不能渐近地击败直接解决方案。对您提出的方法的一些评论
当应用于密集矩阵时，不完全 LU 是完全 LU。您可以考虑一些阈值，但它不太可能起作用，尤其是在没有均匀分布的情况下。
逆不是稀疏的或具有有用的衰减特性，因此预计稀疏的近似逆不会表现良好。
麦克斯韦方程组的积分公式具有非常特殊的结构。那篇论文使用阈值来创建一个稀疏系统。这是否有益（以及稀疏矩阵是否更容易解决）很大程度上取决于问题中的任何特殊结构。
我想如果有一个前置条件
那么您将始终在您的解决方案算法中使用它，因此它将成为您的求解器的一部分。
对于没有结构的稠密矩阵，多项式预处理可能是唯一可行的方法，尽管它有局限性（例如，参见http://amath.colorado.edu/pub/iterative/psi-phi.ps.Z）。如果您的矩阵具有不同大小的条目，则可能需要首先使用匹配的 http://www.cerfacs.fr/algor/reports/1997/TR_PA_97_45.ps.gz缩放矩阵