我有两个耦合非线性偏微分方程的形式：

$\begin{align} \dot{u} -f(u,u',u'',v,v',v'')=0 \\ \dot{v} -g(u,u',u'',v,v',v'')=0 \end{align}$

边界条件是这样的，我知道$u$有时$t=0$和$v$有时$t=-\infty$. 我也知道坐标区间两个边界处两个函数的值。我需要解决方案$x \in [0,1]$和$t \in (-\infty,0]$对于一个特定的参数值，我还知道一个解析解，这使我可以一点一点地调整这个参数，然后通过使用我对先前参数值的解作为解的初始猜测来解方程。

我正在通过写作解决这个问题 $S \equiv (\dot{u} -f(u,u',u'',v,v',v''))^2 + (\dot{v} -g(u,u',u'',v,v',v''))^2$ 然后找到 S 的最小值并验证它是否近似为零。目前我正在通过离散化进行最小化$u$和$v$在我的时间和坐标网格上，然后使用 SciPy 优化库中的共轭梯度算法。这给了我很好的结果，但对于较大的网格来说非常慢。对于一个网格$10^4$网格点我的求解器已经不可行。

我的问题：

1）哪种最小化算法最适合这类任务？共轭梯度似乎需要很多步骤才能收敛到解。

2）有哪些外部库可以解决此类问题？我更喜欢使用 Python API 的。我查看了一些有限元库，对于这个问题，它们似乎有点矫枉过正。