计算科学 - 求解具有相同前提条件的广义特征值问题 - 吾爱随笔录

求解具有相同前提条件的广义特征值问题

计算科学软件本征系统

2021-12-15 03:39:01

假设解决顺序广义特征值问题

A_{i} x = λ B x, i = 1, 2, 3, \dots

$A_i x= \lambda Bx, i=1,2,3,\ldots$

在一般设置中，我们总是需要在应用剩余迭代算法之前对矩阵 B（预处理）执行 LU。是否有数字库（我有 PETSc+SLEPc 的编程经验）或工具包，可以让我将这两个部分分开，从而只执行一次 LU？

默认情况下，LU 分解 $B$ 是通过直接求解器，我想它的成本可能有点可比。

更新：感谢阿诺德，但我想稍微修改一下我的问题，在哪里 $B$ 有一个空向量 st $B\mathbf{1}=\mathbf{0},\quad \mathrm{rank}(B) = n-1$ 在哪里 $A_i,B$ 都是 $n\times n$ 稀疏对称矩阵

1个回答

因素 $PB=LU$ 自己写一个例程来评估 $L^{-1}PAU^{-1}x$ 给定 $x$ （使用两个反向求解）。然后就可以解决问题了 $(L^{-1}PAU^{-1}-\lambda I)z=0$ 使用普通特征值问题的标准迭代求解器。

如果 $B$ 是奇异的，计算由行组成的左零空间基 $M$ ，以及由 $N$ ，以便 $MB=0$ 和 $BN=0$ . 然后你可以用矩阵的修改问题替换特征值问题 $A'=\pmatrix{A & sAN\\MA & sC}$ 和 $B'=\pmatrix{B & AN\\MA & C}$ ，和 $C$ 和 $s$ 随意的。如果 $x$ 然后解决原始特征值问题 $x'=\pmatrix{x\\0}$ 是具有相同特征值的新问题的特征向量。现在矩阵的核 $\pmatrix{B\\MA}$ 是微不足道的，否则特征值问题是不适定的。这意味着 $B'$ 是一个非奇异矩阵。因此，可以将前面的内容应用于修改后的问题。

新的特征值问题也有特征值 $s$ , 对所有形式的向量都达到 $x'=\pmatrix{0\\z}$ . 因此应该选择 $s$ 这样它就位于预期频谱的中间位置。

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