计算科学 - 用布冯针法对 Pi 进行蒙特卡罗估计 - 吾爱随笔录

用布冯针法对 Pi 进行蒙特卡罗估计

计算科学模拟

2021-12-24 04:15:41

有没有一种方法可以在不假设 Pi 已知的情况下使用 Buffon 的方法来估计 Pi？

更准确地说：在Buffon 发明的实验的 Monte Carlo 模拟中，我将（理想情况下）分别生成 2 个在 [0,1] 和 [0,Pi] 内均匀分布的随机数（这两个数是针的中心从条带的边缘和针的方向）。不幸的是，这是一种作弊，因为必须已经知道 Pi 的值才能生成角度。

一个可能的合理（至少在原则上）解决方案是通过在矩形中生成 2 个点来解决此问题，然后从中提取针的中心和方向的概率分布（施加固定长度的针）。然而，获得一些可用公式的分析计算对我来说似乎是一团糟。

有没有更聪明的方法呢？

3个回答

这是另一种游戏（代码在R; 希望它是可以理解的）。与 SeanD 的答案基本相同。

# from http://giventhedata.blogspot.com/2012/09/estimating-pi-with-r-via-mcs-dart-very.html
est.pi <- function(n){

# drawing in  [0,1] x [0,1] covers one quarter of square and circle.

# draw random numbers for the coordinates of the "dart-hits"
a <- runif(n,0,1)
b <- runif(n,0,1)
# use the pythagorean theorem
c <- sqrt((a^2) + (b^2) )
inside <- sum(c<1)
#outside <- n-inside
pi.est <- nside/n*4

 return(pi.est)
}

你为什么不检查它与曲线相交 $x^2+y^2=1$ ，那是一个圆圈，你不需要知道 $\pi$ .

对于给定的 $(y,\theta)$ 配对你真的只需要决定是否 $y\pm\frac{1}{2}sin\theta$ （端点）穿过一条线：

在此处输入图像描述

一种可能是采样 $sin(\theta)$ 直接，使用查找表或其泰勒级数到您关心的任何精度：

s i n (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots

$sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

也就是说，你可以避免 $\pi$ 以使用不统一的 PDF 为代价。画一对数字 $(y, y')$ 在哪里 $y'$ 现在从正弦分布中采样。现在检查是否 $y\pm\frac{1}{2}y'$ 越过一条线。

当然，也有近似值 $\pi$ 基于泰勒级数，所以它仍然有点鸡和蛋的问题......

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