计算科学 - 在给定矩阵方程的求解器的情况下找到矩阵逆A x = bAx=b - 吾爱随笔录 - 问答

在给定矩阵方程的求解器的情况下找到矩阵逆A x = bAx=b

计算科学矩阵线性求解器逆

2021-11-27 10:37:55

所以我得到了一个可以解决的求解器 $x$ 在矩阵方程中 $\underset{=}{A} \underline{x} = \underline{b}$ 在哪里 $b$ 可以是我们指定的任何东西。（注意：A 是一个 NxN 矩阵）。

我现在想找到矩阵 A 的逆矩阵， $\underset{=}{A}^{-1}$ ，使用求解器。我该怎么做呢？

我的前两个想法是这样的，但我不确定它们是否相关：

使用这个求解器以某种方式找到 LU 分解，然后找到 U 和 L 的逆应该很简单，因为它们的形状，因此 A 的逆应该很容易通过 U 和 L 的逆的乘积来计算。
我可以使用这个事实吗 $A = R\Lambda R^{-1}$ 然后使用上面的等式以某种方式找到特征向量和特征值？

非常感谢你：）

1个回答

你的两个想法让它变得太复杂了。如果 $X$ 是的倒数 $A$ ,

A X = I,

$AX=I,$ 和

x_{i}

$x_i$ 是个

i

$i$ - 第列

X

$X$ 和

e_{i}

$e_i$ 是个

i

$i$ - 单位矩阵的第列

I

$I$ (

e_{i}

$e_i$ 是一个全为零的向量，除了

1

$1$ 在里面

i

$i$ -th 位置），然后是列

x_{i}

$x_i$ 的逆定义为

A x_{i} = e_{i} .

$Ax_i = e_i.$ 你需要做的就是解决

n

$n$ 具有向量的线性方程组

e_{i}

$e_i$ 在 rhs。

毕竟，想想在给定的基础上表示一个（一般的、黑盒的）线性算子意味着什么。如果基础是 $e_i$ , 你所能做的就是计算函数 $x\mapsto Ax$ ，矩阵元素可以计算为

A_{i j} = e_{i}^{⊤} (A e_{j}) .

$A_{ij} = e_i^\top (Ae_j).$ 在您的情况下，功能是

x \mapsto A^{- 1} x

$x\mapsto A^{-1}x$ .

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