计算科学 - 有没有一种简单的方法可以将稀疏矩阵添加到密集矩阵的 LU 分解中？ - 吾爱随笔录

计算科学拉帕克矩阵分解抛物线pde

2021-12-14 11:03:28

我正在求解以下形式的抛物线方程：

(\frac{M}{τ_{j}} + A) u^{j + 1} = M f^{j} + \frac{u^{j}}{τ_{j}},

$\left( {M \over\tau_j} + A \right) u^{j+1} = M f^j + {u^j \over \tau_j},$

其中和是密集刚度矩阵，是本文分数扩散问题的右侧： $A$ $f$

[Acosta、Gabriel & Bersetche、Francisco & Borthagaray、Juan。（2017）。分数拉普拉斯算子的二维齐次狄利克雷问题的简短有限元实现。计算机和数学与应用程序。784-816。10.1016/j.camwa.2017.05.026。]

$M$ 是质量矩阵，是前一时间步的解，是未知数向量。是一个数字。 $u^j$ $u^{j+1}$ $\tau_j$

我之前通过lapack的函数用LU分解解决了非抛物线问题 $Au = B$ dgesv

$M$ 是一个稀疏矩阵，每行大约有 5 个元素。通过将所有系数与对角元素相加，也可以将其简化为对角矩阵（质量集总）。

所以我的问题是：是否可以计算一次，然后每一步只分解？ $A = LU$ $LU$ $M \over \sigma_j$

我有一个模糊的记忆，几个月前我在网上找到了一个讲义或教科书。唉，我的 google-fu 现在让我失望了。我尝试在谷歌上搜索“LU 的抛物线方程解”和一些关于抛物线方程的其他变体。

2个回答

问了几分钟后，我找到了答案。上述过程称为“更新 LU”。这个问题有一个很好的通用答案，带有指向其他更具体问题的链接。

因此，就我而言，简短的回答是否定的。您不能在小于 $O(n^3)$ 的满秩矩阵更新 LU 分解，这与更新为满秩时再次执行分解相同。我相信，质量矩阵是满秩的。

编辑：另一个选择是通过用其他东西替换 LU 分解来解决这个问题。例如：

可以按照 Thijs Steel 在另一个答案中的建议使用 Hessenberg 上三角缩减
使用分层方法来压缩矩阵 $A$ 然后在分解之前对压缩矩阵进行更新。前提是 $A$ 适合压缩。为此，我确实使用了来自 STRUMPACK 的 Hierarchical Semo-separable 压缩，但这个问题是看是否有办法“优化”直接高斯求解器。
或者我不知道的其他选项。

您可以考虑另一种分解：Hessenberg 上三角归约。它通常用作 QZ 算法中的预处理步骤，但它也有其他用途。

考虑减少。然后，这相对便宜，因为它只涉及正交矩阵和 Hessenberg 矩阵。的任何值都有效，只要矩阵和不变。 $(A,M) = Q^T(H,T)Z$ $\frac{M}{\mu_j} + A = Q^T(\frac{T}{\mu_j} + H)Z$ $\mu_j$ $A$ $M$

然而，Hessenberg 上三角归约是相当昂贵的。只有当你有很多系统要解决时，这才是值得的。

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