计算科学 - 我们如何计算随机信号的 DFT 统计量？ - 吾爱随笔录

我们如何计算随机信号的 DFT 统计量？

计算科学傅立叶分析信号处理

2021-11-30 16:30:18

我想知道如何计算噪声信号的离散傅里叶变换的统计数据。为了说明我的意思，我将首先详细解释我自己设法完成的计算。

假设我们有一个离散的时间序列值 $x_n$ 和 $n$ 从 0 到 $N-1$ . 每个 $x_n$ 是一个随机变量，与其他变量不相关，高斯分布与宽度 $\sigma$ . 如果我定义离散傅里叶变换

X_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} e^{- 2 π i n k / N}

$X_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2 \pi i n k / N}$

然后我发现 $X_k$ 是一个复数随机变量，具有实部和虚部高斯分布，宽度 $\sigma/\sqrt{2 N}$ . 我通过使用总和的分布是分布的卷积等事实来进行计算。

现在我想知道在这种情况下如何进行计算 $x_n$ 是相关的。如何解决这个问题？我可以假设该过程是马尔可夫的。

1个回答

我也在信号处理交流中问过这个问题。最终我自己找到了答案并将其发布在那里。在这里，我复制/粘贴在那里发布的答案。

数周后，我给出了自己问题的答案。

我们可以以相当简单的方式解决这个问题是有限度的。假设我们在 DFT 中对足够多的点求和，使得中心极限定理保证和的实部和虚部的分布是高斯分布的。然后我们只需要计算方差。如果我们专门研究 DFT 实部方差的情况，我们可以写

⟨ (Re X_{k}) (Re X_{l}) ⟩ = \frac{1}{N^{2}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \sum_{m = 0}^{N - 1} ⟨ x_{n} x_{m} ⟩ \cos (2 π n k / N) \cos (2 π m l / N)

$\langle (\textrm{Re} X_k) (\textrm{Re} X_l) \rangle = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}\langle x_n x_m \rangle \cos(2\pi n k / N)\cos(2 \pi m l / N)$ 需要注意的是

⟨ x_{n} x_{m} ⟩

$\langle x_n x_m \rangle$ 只是时域样本的相关函数，我们可以表示

ρ (n - m)

$\rho(n-m)$ . 把它放进去，我们得到

⟨ (Re X_{k}) (Re X_{l}) ⟩ = \frac{1}{N^{2}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \sum_{m = 0}^{N - 1} ρ (n - m) \cos (2 π n k / N) \cos (2 π m l / N)

$\langle (\textrm{Re} X_k) (\textrm{Re} X_l) \rangle = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1} \rho(n-m) \cos(2\pi n k / N)\cos(2 \pi m l / N)$

就相关函数而言，这种形式很有用，因为相关函数通常是已知的；根据Wiener-Khinchin 定理，相关函数是谱密度的傅立叶变换。

这个总和可以用数值计算，甚至可以分析某些特定形式的 $\rho$ . 计算与虚部的协方差 $X$ 就放 $\sin$ 代替 $\cos$ .

我在 J. Schoukens 和 J. Renneboog, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 中找到了这个想法。IM-35，第 3 期，9 月（1986 年）。

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