我想求解扩散方程，即 ，边界条件为f(0) = f(1) = 0，初始条件为f是集中在一些小的 boxcar 函数大小为d \ll 1的区域。单位被缩放，以使扩散常数等于一。然后我想使用得到的解决方案来计算形式 \int dt \int dx F(f(x), f'(x)) 的积分， 其中F是某个函数（它实际上是f中的二次函数，带有一些x -相关系数，如果这有任何区别）。

我尝试了两种不同的方法来做到这一点。首先是在傅里叶空间中解析求解扩散方程，然后将我的积分也写在傅里叶空间中并进行数值计算。第二个是数值求解扩散方程（我尝试了显式和隐式方法以及著名的 Crank-Nicolson 方法）。

在所有方法中，我最终都会遇到同样的问题：$f$的初始条件非常集中，这意味着我需要一个非常小的空间和时间离散化（对应于在 F 空间解决方案中考虑非常大的傅里叶模式）。另一方面，由于我还需要长时间求解方程（计算积分），所以我还需要考虑长时间的解。傅立叶空间方法并不快，因为我实际上需要以数字方式计算三个积分（两个傅立叶和，内核是从$x$积分计算的）。这使我的计算非常缓慢。

有没有更好的方法来做我刚才描述的事情？由于扩散方程非常简单，我觉得不能更快地做到这一点很愚蠢。我一直在考虑实现某种自适应网格，将其集中到小时间并接近初始条件，但这似乎是一件复杂的事情，要解决这样一个简单的问题。