计算科学 - 复杂的最小二乘问题 - 吾爱随笔录

有一个矩阵 $\mathbf{A} \in \mathcal{C}^{m\times n}$ 我解决了以下最小二乘问题

R e (A^{H} A) x = R e (A^{H} b) .

$Re(\mathbf{A}^H \mathbf{A})x=Re(\mathbf{A}^H\mathbf{b}).$ 如果矩阵

A

$\mathbf{A}$ 是一个实数矩阵，上式的解可以写成

x = \sum_{i = 1}^{r a n k (A)} \frac{u_{i}^{T} b}{s_{i}} v_{i},

$\mathbf{x} = \sum_{i=1}^{rank(\mathbf{A})} \frac{\mathbf{u}_i^T\mathbf{b}}{s_i}\mathbf{v}_i,$ 在哪里

u_{i}

$\mathbf{u}_i$ 和

v_{i}

$\mathbf{v}_i$ 是对应的左右奇异向量和

s_{i}

$s_i$ 是一个

i

$i$ 奇异值。

我的问题是第一个方程中所述的最小二乘问题的解是否可以用类似的方式写出来 $\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{S}\mathbf{V}^H$ ?

我知道可以拆分矩阵 $\mathbf{\tilde A} = [Re(\mathbf{A});~Im(\mathbf{A})]$ 并且等效地解决了实际问题，但是保持在原始矩阵的复数 SVD 内的条件是这里的主要关注点。

谢谢你。