我有一个形式的线性系统$A x = b$在哪里$A$和$b$众所周知，$A$是“正方形”，并且$\lvert b \rvert_1 = \lvert x \rvert_1 = 1$. 不幸的是，我在一个框架中工作，该框架只允许我访问点积，而不是单个向量或运算符元素。我发现解决这个问题的唯一方法是优化数量：

$$d^2 = \lvert b - A x \rvert_2 = \langle b, b \rangle - 2 \langle b, A x \rangle + \langle A x, A x \rangle$$

服从标准化$\lvert x \rvert_1 = 1$. 这往往会奏效，但是由于双重运算符，计算最后一项在计算上变得具有挑战性。（形成向量$A x$实际上非常困难，所以我必须“一次”计算内积才能使用这个工具集：$\langle A x, A x \rangle = x^T A^T A x$.)

现在，如果这是一个$L^2$受限问题，我可以使用${d^\prime}^2 = 1 - \langle b, A x \rangle$作为国家之间的“重叠”$b$和$A x$，从量子力学的角度来看，这对我来说更有意义，但是，因为$x$只是$L^1$标准化，我仍然必须确保$b$和$A x$是$L^2$在以这种方式优化之​​前标准化——这让我回到了计算$\langle A x, A x \rangle$每一步，这又太昂贵了。运营商$A$ 确实保证$L^1$规范被保留，但$L^2$一般而言，norm 不是。

我想不出另一种方法来解决这个方程只使用内积。我错过了什么明显的东西吗？或者有没有关于解决这个问题的文献？谷歌尚未在这个问题上提供帮助，因为“$L^1$优化”是一个常见的搜索，似乎与我的问题无关，因为$A$在那个问题上显然是稀疏的。请在高级本科生核心数学级别解释任何答案，因为我不是数学家。