计算科学 - 如何有效地计算具有不等式约束的总最小二乘 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数算法高维

2021-12-10 00:47:32

我正在寻找一种有效的方法来计算在条件其中是一个 n×m 矩阵，是一组 n 维向量。仅、和。换句话说，目标是找到的列（在非负性约束下）定义的子空间到中每个点的正交距离的平方和最小。是一个有大约 10 到 1000 个元素的有限集，并且

\sum_{i = 1}^{| B |} {| A x_{i} - b_{i} |}^{2} \to m i n

$\sum_{i=1}^\left|B\right|\left|Ax_i-b_i\right|^2\rightarrow min$

\forall i, x_{i} \geq 0,

$\forall i, x_i\ge 0,$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

n

$n$

m

$m$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

n

$n$ 在 50 到 1000 的范围内，并且会相当小，即。

m

$m$

\leq 10

$\le 10$

2个回答

编辑：在清除评论中的一些符号混淆后重写。

令和其中是向量的数量。然后你的问题可以写成 $X = \left[x_1, x_2, \ldots x_r\right]$ $B = \left[b_1, b_2, \ldots b_r\right]$ $r$

{minimize}_{A, X \geq 0} | | A X - B | |

$\text{minimize}_{A,X\geq 0} ||AX-B||$

这看起来很像非负矩阵分解问题的一个版本，称为半非负矩阵分解。有关示例，请参见此处。

您可以通过扩展平方项将其转换为标准形式的二次程序，然后分配总和（假设您的集合 B 是有限的）。然后，您可以使用其中一种标准求解器（有关几个选项，请参见维基百科页面底部的链接）。

如果您正在寻找更具体的建议，我建议您添加有关您的具体问题的更多详细信息，包括问题的大小（n 和 m 有多大），以及矩阵 A 是否有任何结构。

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