我将假设扰动不足以产生冲击波，这是完全不同的蠕虫罐头。

你的能量泛函很接近但不太正确——浅水方程的哈密顿量是

$$H = \frac{1}{2}\int_\Omega\left(h|u|^2 + gh^2\right)dx,$$

尽管泊松括号涉及更多。如果您关心问题的哈密顿结构，您也可以正确地将辛积分器确定为使用的工具。但重要的是要注意辛积分器保留了一些扰动哈密顿量的能量

$$H' = H + \delta t\cdot\delta H + \mathscr{O}(\delta t^2),$$

很多时候，我们可以使用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式根据几个泊松括号读出换句话说，一些能量漂移是可以预料的。一些时间方案保证完全保留所有线性和二次不变量，但项不是二次的。也就是说，从修改后的哈密顿量的轨迹中精确采样的特性非常有用——你可以免费获得很多特性，比如接近平衡的系统结构、有界轨道、相空间体积守恒等。$\delta H$$h|u|^2$$H'$

我还没有具体研究过浅水方程的辛离散化的细节，所以对此持保留态度。有几个显式方案仅对简单的哈密顿量是辛的，可以用通常的泊松括号SWE 的哈密顿量和括号都不是。我认为隐含的中点规则$H = K(p) + U(q)$

$$\frac{z_{n + 1} - z_n}{\delta t} = f\left(\frac{z_{n + 1} + z_n}{2}\right)$$

对于 ODE即使在不寻常的情况下也是辛的。现在你有一个隐式方程要求解，但没有什么是免费的。因此，可能值得尝试其他时间步长方案。$\dot z = f(z)$

最后，逆风与问题的哈密顿结构以一种有点微妙的方式相互作用。尽管他们采用了更多的有限元方法，但本文研究了如何使用逆风对 SWE 进行能量守恒离散化。

根据您显示的图，您应该问自己，您发现的能量漂移是否表明错误或未能保持哈密顿结构，或者仅仅是积分轻微扰动问题的预期漂移。虽然您写下的哈密顿量并不完全正确，但您显示的图表明能量漂移约为 0.035，总共约为 10，因此漂移不到总数的 1%。这对我来说并没有引起任何危险，但如果你想尝试一些事情来调试它，你可以：

1. ,下再次运行模拟，看看能量漂移是什么样的。任何收敛的时间步长方案（辛或非辛）都应该将漂移减半，所以这不会告诉你你需要知道的一切。$\delta x / 2$$\delta t / 2$
2. 运行模拟很长时间，看看能量漂移是什么样子的。要了解“长”的含义，您可以从波速中获得速度标度，并从域的直径的几个倍数是一个不错的选择. 如果解决方案爆炸，您的方案可能不是辛的。$c = \sqrt{gh}$$L$$L / c$

如果您遇到的问题与捕获冲击波有关，我会同意评论中的建议，即仅使用有限体积方法，但情况似乎并非如此。