计算科学 - 您如何制定用于辐射校准的线性最小二乘法？ - 吾爱随笔录

在Debevec 和 Malik（在 Forsyth 和 Ponce 的计算机视觉：现代方法中类似地提到）中，他们强调了一种使用线性最小二乘法求解相机响应函数的方法。

我们收集多个点的图像强度数据

I_{p k} = f (E_{p} Δ t_{k})

$I_{pk} = f(E_{p}\Delta t_{k})$

在哪里 $I_{pk}$ 是像素的图像强度 $p$ 为了 $k$ -第曝光时间
$t_{k}$ 是个 $k$ -第曝光时间
$E_{p}$ 是投影到图像像素上的表面强度
$f$ 是相机响应函数

$I_{pk}$ 和 $t_{k}$ s 是已知的，我们正在使用最小二乘法求解未知数 $E_{p}$ '沙 $f$ . 这个问题通过采取线性化 $g = \ln f^{-1}$ 并采取日志，我们可以将上述公式化为：

g (I_{p k}) = \ln (E_{p}) + l n (Δ t_{k})

$g(I_{pk}) = \ln(E_{p}) + ln(\Delta t_{k})$

然后通过选择将其最小化为以下目标函数 $g$ ：

\sum (g (I_{p k}) - \ln (E_{p}) + l n (Δ t_{k}))^{2} + \sum_{z} g^{″} (z)^{2}

$\sum(g(I_{pk}) - \ln(E_{p}) + ln(\Delta t_{k}))^2 + \sum_{z} g''(z)^2$

其中是所有像素强度的离散域，并且产生平滑度损失。 $z$ $g''(z) = g(z - 1) - 2g(z) +g(z + 1)$ $g$

因为它在和中是二次的，所以最小化 [the above] 是一个简单的线性最小二乘问题 $E_{i}$ $g(I)$

我不明白我们是如何得出以下结论的。如论文所述，我们应该能够通过创建正确的矩阵并执行奇异值分解来解决以下问题。这个矩阵的构造是什么？

我们是说是线性函数吗？ $g = \ln f^{-1}$