计算科学 - 重新加权最小二乘分解 - 吾爱随笔录

这是此处提出的问题的延续。我想解决许多形式的最小二乘系统

D_{i} A x \approx D_{i} b

$D_i A x \approx D_i b$ 在哪里

D_{i}

$D_i$ 是

m \times m

$m \times m$ 对角线上有正元素的对角矩阵，

A

$A$ 是

m \times n

$m \times n$ 和

m > n

$m > n$ ,

x

$x$ 是

n \times 1

$n \times 1$ ，和

b

$b$ 是

m \times 1

$m \times 1$ .

上一个问题中给出的答案建议考虑因素 $A$ 与 $LQ$ 分解，注意到 $D_i L$ 将是下三角形，因此无需考虑 $D_i A$ 对于每个 $D_i$ .

然而，事实证明 $L$ 在一个 $LQ$ 分解只是下三角 $m \le n$ （未确定）。什么时候 $m > n$ （超定）， $L$ 实际上是较低的梯形（零以上 $m=n$ 对角线，请参阅 LAPACK 例程DGELQF）。所以 $L$ 看起来像

L = (\begin{matrix} L_{11} \\ L_{21} \end{matrix})

$L = \pmatrix{ L_{11} \\ L_{21}}$ 在哪里

L_{11}

$L_{11}$ 是

n \times n

$n \times n$ 下三角形，和

L_{21}

$L_{21}$ 是

(m - n) \times n

$(m-n) \times n$ 稠密。

因此，当使用 $LQ$ 分解，我们需要解决

D_{i} L z \approx D_{i} b

$D_i L z \approx D_i b$ 在哪里

z = Q x

$z = Q x$ . 现在对角矩阵乘以梯形得到梯形矩阵，所以问题变成解决梯形最小二乘问题

(D_{i} L) z = y

$(D_i L) z = y$ 我的问题是如何有效地解决这个梯形系统？在我看来，我回到了第 1 方，因为我需要考虑因素

D_{i} L

$D_i L$ 和

Q R

$QR$ 要么

S V D

$SVD$ 为了解决这个最小二乘系统。我没有看到任何可以有效解决梯形系统的 LAPACK/BLAS 例程。