因为您的基函数是正交多项式（并假设它们已正确归一化），。因此，您可以在 2-范数中正则化线性方程组的解，并在 2-范数中有效地正则化。 $\| f \|_{2}=\| c \|_{2}$$f$

为此，只需最小化。这可以设置为最小二乘问题$\| Ac-b\|_{2}^{2}+ \lambda \| c \|_{2}^{2}$

$\min \left\| \left[ \begin{array}{c} A \\ \sqrt{\lambda} I \end{array} \right] b- \left[ \begin{array}{c} b \\ 0 \\ \end{array} \right] \right\|_{2}^{2}$

这个阻尼最小二乘问题的正规方程给出了解决方案

$\hat{c}=(A^{T}A+\lambda I)^{-1}A^{T}b$

尚未暗示这一点，您可以轻松地添加一个约束以强制积分为 1 。 $f$$Ac=b$

然而，

您的问题的一个重要方面是本质上是非负的（在某些点上可能为 0，因此不一定处处为正。）不幸的是，您使用的正交基函数并非处处为负，并且没有合理的的正交多项式展开中的系数来强制解的非负性的方法。 $f$$f$

因此，您可能需要考虑摆脱正交多项式并根据允许您强制执行的非负性的基函数来解决问题。 $f$

您也可以考虑用 CDF 而不是概率分布的 pdf 来表达您的问题。

很困难的事实）。但是，如果您对知识进行编码，您可以使正则化更好地工作，您期望高振荡项很小，而低频项可能很大。$\lambda$

你这样做的方法是认识到当你解决 你基本上惩罚大系数。换句话说，你正在做的是试图找到那些系数，以便小，但也让小（并且这两项之间的平衡由给出）。但这不是您想要的，根据您的问题描述：您只希望高频项很小。因此，您可能希望最小化以下内容： 其中是

$$\min \|Ac-b\|_2^2 + \lambda\|c\|_2^2$$ $c_i$$c$$Ac-b$ $c$$\lambda$ $$\min \|Ac-b\|_2^2 + \sum_i\lambda_i|c_i|^2$$ $\lambda_i$增加序列，以便更高的系数受到更多的惩罚。选择什么形式是您需要根据您对系数大小的期望来决定的。一个例子可能是 $\lambda_i$ $$\lambda_i = \bar\lambda \sqrt{i}.$$

关于如何选择正则化以匹配我们期望的解决方案的外观，有一个通用理论。如果您想在这些问题上花费大量时间，我建议阅读 Tarantola（“逆问题理论”）或 Kaipio 和 Somersalo （“统计和计算逆问题”）的书籍。