计算科学 - 右预处理和定点线性迭代 - 吾爱随笔录

给定一个线性系统，我们可以将其表达为更容易求解的右预条件形式： $A\textbf{x}=\textbf{b}$

A M^{- 1} y = b, y = M x

$AM^{-1}\textbf{y}=\textbf{b}, \quad \textbf{y}= M\textbf{x}$

另一方面，左预条件系统是：

M^{- 1} A x = M^{- 1} b

$M^{-1}A\textbf{x}=M^{-1}\textbf{b}$

从文献中我们知道很容易证明上面的左预处理线性系统等价于定点线性迭代：

x^{(k + 1)} = (I - M^{- 1} A) x^{(k)} + M^{- 1} b

$\textbf{x}^{(k+1)}=(I-M^{-1}A)\textbf{x}^{(k)}+M^{-1}\textbf{b}$

或等效地：

x^{(k + 1)} = x^{(k)} + M^{- 1} r^{(k)}

$\textbf{x}^{(k+1)}=\textbf{x}^{(k)} + M^{-1}\textbf{r}^{(k)}$

我的问题是：我怎样才能得到一个像从正确的预处理公式开始的更新方案？