计算科学 - EFIE 积分的计算 - 吾爱随笔录

计算科学有限元数值分析数值建模电磁学积分方程

2021-12-25 19:14:38

我需要帮助计算以下积分：

\int_{} \frac{(1 + j k | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |) e^{- j k | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |}}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |} d {\vec{r}}^{'}

$\int_{}\frac{(1+jk|\vec{r}-\vec{r}^\prime|)e^{-jk|\vec{r}-\vec{r}^\prime|}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|}d\vec{r}^\prime$

在这个积分 $\vec{r}$ 和 $\vec{r}^\prime$ 是分别对应于观察点和源点的位置向量。该积分来自电场积分方程 (EFIE) 内核。

1个回答

用于评估计算电磁学 (EM) 中普遍存在的积分的经典论文是：

威尔顿博士、SM Rao、AW Glisson、DH Schaubert、OM Al-Bundak 和 CM Butler，“多边形和多面体域的均匀和线性源分布的潜在积分” ， IEEE Trans。天线传播。, 卷。AP-32，没有。3，第 276-281 页，1984 年 3 月。

评估 EFIE 积分的挑战是所需的奇点处理。如果两者 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{r}^\prime$ 属于离散几何中的同一块，不能仅使用基于正交的积分。

这个想法是减去一个奇点并将其解析地整合，其余的（已经没有奇点）在数值上。所以，假设你需要计算积分（ $R=|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|$ ):

\int_{S} \frac{e^{- j k R}}{R} d s^{'} = \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int_{S} \frac{e^{- j k R} - 1}{R} d s^{'}}} + \underset{I_{2}}{\underset{⏟}{\int_{S} \frac{1}{R} d s^{'}}}

$\int\limits_S\frac{e^{-jkR}}{R}ds'=\underbrace{\int\limits_S\frac{e^{-jkR}-1}{R}ds'}_{I_1}+\underbrace{\int\limits_S\frac{1}{R}ds'}_{I_2}$ 这里，

S

$S$ 是源补丁和

r

$\mathbf{r}$ 是固定的。现在，积分

I_{1}

$I_1$ 没有奇点，可以使用二维高斯求积来评估（使用重心坐标并应用高斯求积

ξ

$\xi$ ,

η

$\eta$ 带有适当的雅可比行列式）

不可缺少的 $I_2$ 可以分析发现。平面多边形的公式 $S$ 在参考论文中给出。

即使观察和源补丁不同但相对接近，您仍然可能希望使用这种奇点减法技术。这种奇点处理将减少来自数值积分的误差，并减少实现附近相互作用精度所需的正交点的数量。

我假设，现在您已经使用基于脉冲的函数离散化了您的 EFIE，并且您也在使用脉冲测试您的 EFIE。对于某些场景，这可能已经足够了，但我会指出，在您的开发过程的后期，使用正确的基函数和测试程序可能很重要。

注意：还有其他技术可以解决这个格林函数中的奇异性，包括特殊的求积规则，但我个人更喜欢这种方法。

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