计算科学 - 直线法能否直接用于求解 ODE 的稳态值？ - 吾爱随笔录

假设我们有一个离散的两个 PDE 的耦合非线性系统，以给出一个近似于原始系统的 ODE 系统，其中和是具有与系统中离散点相同数量的元素的解变量向量。是一个向量，它取决于 PDE 的离散方式。

\frac{\partial u}{\partial t} = F_{1} (t, u, v) \frac{\partial v}{\partial t} = F_{2} (t, u, v)

$\frac{\partial u}{\partial t} = F_1(t,\boldsymbol{u,v}) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = F_2(t,\boldsymbol{u,v}) \\$

u = [u_{1} \dots u_{N}]^{T}

$\boldsymbol{u} = [u_1 \cdots u_N]^{T}$

v = [v_{1} \dots v_{N}]^{T}

$\boldsymbol{v} = [v_1 \cdots v_N]^{T}$

F

$F$

当偏微分方程以这种半离散形式保留时（即瞬态项未离散化），它们可以使用传统的 ODE 求解器来求解，这种技术被称为线法(MOL)。

通常，ODE 求解器可用于及时将系统向前推进，直到所需时间点或系统达到稳态。但是，MOL 技术可以直接用于求解稳态值吗？

ODE 求解器内部将计算雅可比行列式并使用牛顿法求解系统，这些是直接求解系统稳态的先决条件。因此，它似乎拥有这样做的所有必要信息。此外，为了解决上述稳态系统，可以应用牛顿法，但将瞬态项设置为零，

0 = F_{1} (t, u, v) 0 = F_{2} (t, u, v)

$0 = F_1(t,\boldsymbol{u,v}) \\ 0 = F_2(t,\boldsymbol{u,v}) \\$

有没有办法用 MOL 求解器（例如在 MATLAB 或 Python 中）来做到这一点？